1. II Com que velocidade, como fração de c, um relógio em movimento marca o tempo com a metade da frequiência de outro relógio idêntico, porém em repouso?

Passo 1

O enunciado quer saber a que velocidade, em fração de c, um relógio em movimento deve ir para marcar a metade da frequência de um relógio idêntico em repouso. O conteúdo necessário é a dilatação do tempo na relatividade restrita.

Passo 2

Na relatividade, o intervalo de tempo medido por um observador em que o relógio se move é
De<a t = gamma,De<a tau
sendo De<a tau o intervalo próprio. Como frequência é o inverso do intervalo, concluímos
fmov = 1De<a t = 1gamma,De<a tau = 1gamma,frep

Passo 3

Exigindo que o relógio em movimento marque metade da frequência, isto é
fmov = tfrac12,frep,
temos
1gamma,frep = tfrac12,frep Longrightarrow gamma = 2

Passo 4

Como o fator de Lorentz é gamma = 1/raiz1-beta^2 com beta = v/c, obtemos
2 = 1raiz1-beta^2 Longrightarrow raiz1-beta^2 = tfrac12 Longrightarrow beta = raiz1 - tfrac14 = raiz32

Resposta

v = raiz32,c approx 0,866,c

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