Fixada uma base em um espaço vetorial , sabemos que cada vetor se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de . Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base , em M2(R) as coordenadas de v=(cc-1 & 1 0 & 0) são [v]beta=[c-1 1 0 0], pois
Seja V=M2(R) e beta=(cc1 & 0 -1 & 0),(cc-1 & 1 0 & 0),(cc1 & 0 0 & -1),(cc0 & -1 -1 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) em relação à base beta.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! A gente tem um espaço vetorial V = M2(R) , que são todas as matrizes 2x2 com números reais. Temos duas bases:
Base canônicabeta', que é tipo a “base padrão” com cada matriz tendo um 1 em uma posição e 0 nas outras.
Outra basebeta, que é uma coleção de quatro matrizes diferentes.
O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas de cada matriz da base canônica beta' na base beta. Isso significa que vamos expressar cada matriz de beta' como uma combinação linear das matrizes em beta e descobrir os coeficientes dessa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as duas bases para facilitar: