Fixada uma base beta em um espaço vetorial V, sabemos que cada vetor v se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de beta. Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base alpha=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1), em M2(R) as coordenadas de v=(cc-1 & 1 0 & 0) são [v]beta=[c-1 1 0 0], pois
(cc -1 & 1 0 & 0 )=-1 cdot(cc 1 & 0 0 & 0 )+1 cdot(cc 0 & 1 0 & 0 )+0 cdot(ll 0 & 0 1 & 0 )+0 cdot(ll 0 & 0 0 & 1 )
Seja V=M2(R) e beta=(cc1 & 0 -1 & 0),(cc-1 & 1 0 & 0),(cc1 & 0 0 & -1),(cc0 & -1 -1 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) em relação à base beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! A gente tem um espaço vetorial V = M2(R) , que são todas as matrizes 2x2 com números reais. Temos duas bases:
  1. Base canônica beta', que é tipo a “base padrão” com cada matriz tendo um 1 em uma posição e 0 nas outras.
  2. Outra base beta, que é uma coleção de quatro matrizes diferentes.
O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas de cada matriz da base canônica beta' na base beta. Isso significa que vamos expressar cada matriz de beta' como uma combinação linear das matrizes em beta e descobrir os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as duas bases para facilitar:
beta = 1 & 0 -1 & 0 , -1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 0 & -1 , 0 & -1 -1 & 1
beta' = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
Vamos chamar as matrizes de beta de B1, B2, B3, B4 e as de beta' de E1, E2, E3, E4 para facilitar a escrita.

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas de E1 = 1 & 0 0 & 0 em relação a beta. A ideia é encontrar números a, b, c, d tais que:
E1 = aB1 + bB2 + cB3 + dB4
Substituindo as matrizes:
1 & 0 0 & 0 = a 1 & 0 -1 & 0 + b -1 & 1 0 & 0 + c 1 & 0 0 & -1 + d 0 & -1 -1 & 1
Isso dá o seguinte sistema de equações:
  1. a - b + c = 1 (posição [1,1])
  2. 0 + b - d = 0 (posição [1,2])
  3. -a + 0 + 0 - d = 0 (posição [2,1])
  4. 0 + 0 - c + d = 0 (posição [2,2])
Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da equação 2: b - d = 0 b = d
Da equação 3: -a - d = 0 a = -d
Da equação 4: -c + d = 0 c = d
Substituindo na equação 1:
a - b + c = (-d) - d + d = -d = 1 Rightarrow d = -1
Então:
d = -1, b = -1, a = 1, c = -1
Portanto, as coordenadas de E1 em relação a beta são:
[E1]beta = 1 -1 -1 -1

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para E2 = 0 & 1 0 & 0. A gente quer:
E2 = aB1 + bB2 + cB3 + dB4
Substituindo:
0 & 1 0 & 0 = a 1 & 0 -1 & 0 + b -1 & 1 0 & 0 + c 1 & 0 0 & -1 + d 0 & -1 -1 & 1
Sistema de equações:
  1. a - b + c = 0 (posição [1,1])
  2. 0 + b - d = 1 (posição [1,2])
  3. -a + 0 + 0 - d = 0 (posição [2,1])
  4. 0 + 0 - c + d = 0 (posição [2,2])
Resolvendo:
Da equação 3: -a - d = 0 a = -d
Da equação 4: -c + d = 0 c = d
Da equação 2: b - d = 1 b = d + 1
Da equação 1: a - b + c = (-d) - (d +1) + d = -d -1 = 0 -d = 1 d = -1
Então:
d = -1, b = 0, a = 1, c = -1
Portanto, as coordenadas de E2 em relação a beta são:
[E2]beta = 1 0 -1 -1

Passo 6

Vamos para E3 = 0 & 0 1 & 0. Buscamos:
E3 = aB1 + bB2 + cB3 + dB4
Substituindo:
0 & 0 1 & 0 = a 1 & 0 -1 & 0 + b -1 & 1 0 & 0 + c 1 & 0 0 & -1 + d 0 & -1 -1 & 1
Sistema de equações:
  1. a - b + c = 0 (posição [1,1])
  2. 0 + b - d = 0 (posição [1,2])
  3. -a + 0 + 0 - d = 1 (posição [2,1])
  4. 0 + 0 - c + d = 0 (posição [2,2])
Resolvendo:
Da equação 2: b - d = 0 b = d
Da equação 4: -c + d = 0 c = d
Da equação 1: a - b + c = a - d + d = a = 0
Da equação 3: -0 - d = 1 -d = 1 d = -1
Então:
d = -1, b = -1, c = -1, a = 0
Portanto, as coordenadas de E3 em relação a beta são:
[E3]beta = 0 -1 -1 -1

Passo 7

Por último, vamos encontrar as coordenadas de E4 = 0 & 0 0 & 1. Queremos:
E4 = aB1 + bB2 + cB3 + dB4
Substituindo:
0 & 0 0 & 1 = a 1 & 0 -1 & 0 + b -1 & 1 0 & 0 + c 1 & 0 0 & -1 + d 0 & -1 -1 & 1
Sistema de equações:
  1. a - b + c = 0 (posição [1,1])
  2. 0 + b - d = 0 (posição [1,2])
  3. -a + 0 + 0 - d = 0 (posição [2,1])
  4. 0 + 0 - c + d = 1 (posição [2,2])
Resolvendo:
Da equação 2: b - d = 0 b = d
Da equação 3: -a - d = 0 a = -d
Da equação 4: -c + d = 1 c = d -1
Da equação 1: a - b + c = (-d) - d + (d -1) = -d -1 = 0 -d = 1 d = -1
Então:
d = -1, b = -1, a = 1, c = -2
Portanto, as coordenadas de E4 em relação a beta são:
[E4]beta = 1 -1 -2 -1

Resposta

As coordenadas dos vetores da base canônica beta' em relação à base beta são:
[E1]beta = 1 -1 -1 -1, [E2]beta = 1 0 -1 -1, [E3]beta = 0 -1 -1 -1, [E4]beta = 1 -1 -2 -1

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