Verifique que S=(x, y) in R^2 ; x=2 y é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = (x,y)inR^2 mid x = 2y
é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. 0in S.
  2. u,vin S implica u+vin S.
  3. uin S e alphainR implica alpha uin S.

Passo 2

Verificar que o vetor nulo está em S.
O vetor nulo em R^2 é (0,0). Como 0 = 2cdot0, temos (0,0)in S.

Passo 3

Verificar fechamento em relação à soma.
Se (x1,y1)in S e (x2,y2)in S, então
x1 = 2y1 e x2 = 2y2
A soma é (x1+x2,;y1+y2). Como
x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2(y1 + y2),
segue que (x1+x2,;y1+y2) também satisfaz a condição x = 2y, logo pertence a S.

Passo 4

Verificar fechamento em relação ao produto por escalar.
Se (x,y)in S e alphainR, então x = 2y. O vetor escalado é alpha(x,y) = (alpha x,;alpha y). Como
alpha x = alpha,(2y) = 2,(alpha y),
temos (alpha x,;alpha y)in S.

Resposta

Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de R^2.

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