Fixada uma base em um espaço vetorial , sabemos que cada vetor se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de . Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base de , o vetor tem como coordenadas , pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Se [v]beta=[l1 0 1 0] determine o polinômio v.
Passo 1
O enunciado está em V=P3(R) com a base
beta = ,t^3+t,;t^3+t^2,;t^3+1,;t^2+1
e diz que as coordenadas de v em beta são
[v]beta = 1010
Isso significa que, na combinação linear única que expressa v em função dos vetores de beta, os coeficientes são 1,0,1,0, nessa ordem.
Passo 2
Pelo conceito de coordenadas, temos
v = 1cdot (t^3+t);+;0cdot (t^3+t^2);+;1cdot (t^3+1);+;0cdot (t^2+1)
Passo 3
Eliminando os termos com coeficiente zero e somando os restantes, vem