Fixada uma base beta em um espaço vetorial V, sabemos que cada vetor v se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de beta. Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base alpha=t^3, t^2, t, 1 de P3(R), o vetor p(t)=3 t^2+2 tem como coordenadas [p(t)]beta=[l0 3 0 2], pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Se [v]beta=[l1 0 1 0] determine o polinômio v.

Passo 1

O enunciado está em V=P3(R) com a base
beta = ,t^3+t,;t^3+t^2,;t^3+1,;t^2+1
e diz que as coordenadas de v em beta são
[v]beta = 1010
Isso significa que, na combinação linear única que expressa v em função dos vetores de beta, os coeficientes são 1,0,1,0, nessa ordem.

Passo 2

Pelo conceito de coordenadas, temos
v = 1cdot (t^3+t);+;0cdot (t^3+t^2);+;1cdot (t^3+1);+;0cdot (t^2+1)

Passo 3

Eliminando os termos com coeficiente zero e somando os restantes, vem
v = (t^3+t) + (t^3+1)

Passo 4

Agrupando termos semelhantes, obtemos
v = t^3 + t^3 ;+; t ;+; 1 = 2,t^3 + t + 1

Resposta

v(t) = 2,t^3 + t + 1

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