Seja H o subespaço de (R 4 gerado por [l1 1 0 1],[r-1 1 0 1],[l1 0 1 1]. V1=U1
Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal para H.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos uma base ortogonal para o subespaço H de R^4 que é gerado por três vetores:
v1 &= 1 1 0 1, v2 = -1 1 0 1, v3 = 1 0 1 1
Vamos usar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. Para isso, precisamos entender como o processo funciona: basicamente, pegamos os vetores um a um e vamos “limpando” a parte que já está na direção dos vetores anteriores, garantindo que cada novo vetor seja perpendicular aos anteriores.

Passo 2

Primeiro, começamos com o primeiro vetor v1 . Como ainda não temos nenhum vetor na base, simplesmente definimos u1 = v1 :
u1 = 1 1 0 1

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor v2 . Queremos torná-lo ortogonal a u1 . Para isso, subtraímos de v2 a projeção de v2 em u1 :
u2 = v2 - proju1 v2
A projeção é calculada assim:
proju1 v2 = v2 cdot u1u1 cdot u1 u1
Vamos calcular os produtos internos:
v2 cdot u1 = (-1)(1) + (1)(1) + (0)(0) + (1)(1) = -1 + 1 + 0 + 1 = 1
u1 cdot u1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 1 + 0 + 1 = 3
Então,
proju1 v2 = 13 1 1 0 1 = 13 13 0 13
Agora, subtraímos isso de v2 :
u2 = -1 1 0 1 - 13 13 0 13 = -1 - 13 1 - 13 0 - 0 1 - 13 = -43 23 0 23

Passo 4

Agora, passamos para o terceiro vetor v3 . Queremos torná-lo ortogonal a u1 e u2 . Fazemos isso subtraindo as projeções de v3 em u1 e u2 :
u3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3
Primeiro, calculamos proju1 v3 :
v3 cdot u1 = (1)(1) + (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 0 + 1 = 2
proju1 v3 = 23 1 1 0 1 = 23 23 0 23
Agora, calculamos proju2 v3 :
v3 cdot u2 = (1)(-43) + (0)(23) + (1)(0) + (1)(23) = -43 + 0 + 0 + 23 = -23
u2 cdot u2 = (-43)^2 + (23)^2 + 0^2 + (23)^2 = 169 + 49 + 0 + 49 = 249 = 83
proju2 v3 = -2383 u2 = (-14) -43 23 0 23 = 13 -16 0 -16
Agora, subtraímos ambas as projeções de v3 :
u3 = 1 0 1 1 - 23 23 0 23 - 13 -16 0 -16 = 1 - 23 - 13 0 - 23 + 16 1 - 0 - 0 1 - 23 + 16 = 0 -12 1 56

Resposta

A base ortogonal para o subespaço H é formada pelos vetores:
u1 = 1 1 0 1, u2 = -43 23 0 23, u3 = 0 -12 1 56

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