Seja H o subespaço de (R 4 gerado por [l1 1 0 1],[r-1 1 0 1],[l1 0 1 1]. V1=U1
Determine o complemento ortogonal de H.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para encontrar o complemento ortogonal de um subespaço H no espaço R^4 . O subespaço H é gerado por três vetores específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores que geram H .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal. O complemento ortogonal de um subespaço H , denotado por H^perp , é o conjunto de todos os vetores em R^4 que são ortogonais a cada vetor de H . Ou seja, se x está em H^perp , então o produto escalar de x com qualquer vetor em H é zero.

Passo 3

Como H é gerado por três vetores, podemos escrever qualquer vetor em H como uma combinação linear desses três vetores. Portanto, para encontrar H^perp , precisamos que o produto escalar de x = (x1, x2, x3, x4) com cada um desses vetores seja igual a zero.

Passo 4

Vamos listar os três vetores que geram H :
v1 = 1 1 0 1 , v2 = -1 1 0 1 , v3 = 1 0 1 1
Agora, escrevemos as equações de ortogonalidade:
x cdot v1 = 0 x cdot v2 = 0 x cdot v3 = 0

Passo 5

Calculando cada produto escalar:
  1. x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 + x4 cdot 1 = 0 \
    Simplifica para: x1 + x2 + x4 = 0
  2. x1 cdot (-1) + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 + x4 cdot 1 = 0 \
    Simplifica para: -x1 + x2 + x4 = 0
  3. x1 cdot 1 + x2 cdot 0 + x3 cdot 1 + x4 cdot 1 = 0 \
    Simplifica para: x1 + x3 + x4 = 0

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com quatro incógnitas:
x1 + x2 + x4 = 0 - x1 + x2 + x4 = 0 x1 + x3 + x4 = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar as possíveis soluções para x1, x2, x3, x4 .

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, subtraímos a segunda equação da primeira:
(x1 + x2 + x4) - (-x1 + x2 + x4) = 0 - 0 2x1 = 0 implies x1 = 0

Passo 8

Com x1 = 0 , substituímos na primeira equação:
0 + x2 + x4 = 0 implies x2 + x4 = 0 implies x2 = -x4

Passo 9

Agora, substituímos x1 = 0 na terceira equação:
0 + x3 + x4 = 0 implies x3 + x4 = 0 implies x3 = -x4

Passo 10

Até agora, temos:
x1 = 0, x2 = -x4, x3 = -x4
Como x4 é uma variável livre, podemos atribuir a ele um parâmetro, digamos t . Então:
x1 = 0, x2 = -t, x3 = -t, x4 = t

Resposta

Portanto, o complemento ortogonal de H é o conjunto de vetores:
H^perp = t 0 -1 -1 1 , g| , t in R
Isso significa que qualquer vetor no complemento ortogonal de H pode ser escrito como uma combinação linear do vetor 0 -1 -1 1 .

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