Fixado n in N, considere a função f:[0,+infty) [0,+infty) definida por f(x)=x^n.
a) Mostre que f é crescente. Em particular, f é injetiva.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = x^n , onde n é um número natural, ou seja, n in N . O objetivo aqui é mostrar que essa função é crescente no intervalo de 0 até +infty . Além disso, queremos provar que essa função é injetiva, o que significa que cada valor de saída vem de apenas um valor de entrada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser crescente. Uma função é dita crescente se, quando aumentamos o valor de x , o valor de f(x) também aumenta. Matemáticamente, isso significa que se x1 < x2 , então f(x1) < f(x2) .

Passo 3

Para mostrar que f(x) = x^n é crescente, podemos olhar para a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a x . Se a derivada for positiva em todo o intervalo considerado, a função é crescente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(x) :
f'(x) = ddxx^n = n cdot x^n-1

Passo 5

Agora, analisamos o sinal da derivada f'(x) = n cdot x^n-1 . Sabemos que n é um número natural, então n > 0 . Além disso, x^n-1 é sempre não negativo para x >= 0 , já que qualquer número não negativo elevado a uma potência também é não negativo.

Passo 6

Como f'(x) = n cdot x^n-1 >= 0 para todo x >= 0 , isso significa que a função f(x) está sempre aumentando ou, no mínimo, permanecendo constante. Porém, como x^n-1 > 0 para x > 0 , a função realmente aumenta conforme x aumenta.

Passo 7

Com isso, concluímos que f(x) = x^n é uma função crescente no intervalo [0, +infty) .

Passo 8

Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetiva se cada valor de saída f(x) corresponde a apenas um valor de entrada x . Já que mostramos que a função é crescente, isso significa que valores diferentes de x geram valores diferentes de f(x) . Portanto, a função é injetiva.

Resposta

A função f(x) = x^n é crescente no intervalo [0, +infty) e, consequentemente, é injetiva.

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