Fixado
, considere a função
definida por
.
a) Mostre que
é crescente. Em particular,
é injetiva.
a) Mostre que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é um número natural, ou seja,
. O objetivo aqui é mostrar que essa função é crescente no intervalo de
até
. Além disso, queremos provar que essa função é injetiva, o que significa que cada valor de saída vem de apenas um valor de entrada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser crescente. Uma função é dita crescente se, quando aumentamos o valor de
, o valor de
também aumenta. Matemáticamente, isso significa que se
, então
.
Passo 3
Para mostrar que
é crescente, podemos olhar para a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a
. Se a derivada for positiva em todo o intervalo considerado, a função é crescente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Agora, analisamos o sinal da derivada
. Sabemos que
é um número natural, então
. Além disso,
é sempre não negativo para
, já que qualquer número não negativo elevado a uma potência também é não negativo.
Passo 6
Como
para todo
, isso significa que a função
está sempre aumentando ou, no mínimo, permanecendo constante. Porém, como
para
, a função realmente aumenta conforme
aumenta.
Passo 7
Com isso, concluímos que
é uma função crescente no intervalo
.
Passo 8
Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetiva se cada valor de saída
corresponde a apenas um valor de entrada
. Já que mostramos que a função é crescente, isso significa que valores diferentes de
geram valores diferentes de
. Portanto, a função é injetiva.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e, consequentemente, é injetiva.