Seja
um intervalo e
uma função contínua e injetiva. Então,
é monótona e sua inversa
é contínua, com
.
a) Use esse resultado para mostrar que a função
definida por
é contínua para todo
.
a) Use esse resultado para mostrar que a função
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte teorema: se
é contínua e injetiva em um intervalo
, então
é monótona e sua inversa
(com
) é contínua. Vamos aplicar esse resultado à função
dada por
Passo 2
Definimos a função
Como polinômio,
é contínua em todo
.
Passo 3
Mostramos que
é injetiva em
. Sejam
tais que
. Como a função
é estritamente crescente em
, de
segue
o que contradiz
a menos que
. Logo,
é injetiva.
Passo 4
Pelo teorema,
sendo contínua e injetiva em um intervalo gera uma inversa contínua. A imagem de
é
e a inversa
é precisamente
Portanto
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
para todo
.