Seja I R um intervalo e f: I R uma função contínua e injetiva. Então, f é monótona e sua inversa g: J I é contínua, com J=f(I).
a) Use esse resultado para mostrar que a função g:[0,+infty) [0,+infty) definida por g(x)=raiz[n]x é contínua para todo n in N.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte teorema: se fcolon ItoR é contínua e injetiva em um intervalo IsubseteqR, então f é monótona e sua inversa gcolon Jto I (com J=f(I)) é contínua. Vamos aplicar esse resultado à função gcolon[0,+infty)to[0,+infty) dada por
g(x)=raiz[n]x=x^1/n

Passo 2

Definimos a função
fcolon[0,+infty)to[0,+infty), f(x)=x^n
Como polinômio, f é contínua em todo [0,+infty).

Passo 3

Mostramos que f é injetiva em [0,+infty). Sejam x1,x2>=0 tais que x1^n = x2^n. Como a função tmapsto t^n é estritamente crescente em t>=0, de
x1 < x2
segue
x1^n < x2^n,
o que contradiz x1^n = x2^n a menos que x1=x2. Logo, f é injetiva.

Passo 4

Pelo teorema, f sendo contínua e injetiva em um intervalo gera uma inversa contínua. A imagem de f é
J=f([0,+infty))=[0,+infty),
e a inversa f^-1 é precisamente
f^-1(x)=x^1/n=g(x)
Portanto g é contínua em [0,+infty).

Resposta

A função g(x)=raiz[n]x é contínua em [0,+infty) para todo ninN.

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