Seja
contínua no ponto
. Então, se
existe
tal que
para todo
. Em seguida, conclua que se
são contínuas no ponto
e
, então existe
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
são contínuas em
e que
. Queremos provar que existe
tal que
Para isso, usaremos o resultado sobre função contínua que assume valor positivo num ponto.
Passo 2
Definimos a função
Como a diferença de funções contínuas é contínua, segue que
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos
e pela hipótese
obtemos
Passo 4
Pelo resultado dado no enunciado, como
é contínua em
e
, existe
tal que
Logo, para esses
temos
, isto é,
.
Resposta
Existe
tal que