Seja h: X \rightarrow \mathbb{R} contínua no ponto a \in X. Então, se h(a)>0 existe \delta>0 tal que h(x)>0 para todo x \in X \cap(a-\delta, a+\delta). Em seguida, conclua que se f, g: X \rightarrow \mathbb{R} são contínuas no ponto a \in X e f(a)>g(a), então existe \delta>0 tal que f(x)>g(x) para todo x \in X \cap(a-\delta, a+\delta).

Passo 1

O enunciado diz que f,g: X\to\mathbb{R} são contínuas em a\in X e que f(a)>g(a). Queremos provar que existe \delta>0 tal que
f(x)>g(x)\quad\text{para todo }x\in X\cap(a-\delta,a+\delta).
Para isso, usaremos o resultado sobre função contínua que assume valor positivo num ponto.

Passo 2

Definimos a função
h\colon X\to\mathbb{R},\qquad h(x)=f(x)-g(x).
Como a diferença de funções contínuas é contínua, segue que h é contínua em a.

Passo 3

Calculamos
h(a)=f(a)-g(a),
e pela hipótese f(a)>g(a) obtemos
h(a)>0.

Passo 4

Pelo resultado dado no enunciado, como h é contínua em a e h(a)>0, existe \delta>0 tal que
h(x)>0\quad\text{para todo }x\in X\cap(a-\delta,a+\delta).
Logo, para esses x temos f(x)-g(x)>0, isto é, f(x)>g(x).

Resposta

Existe \delta>0 tal que
f(x)>g(x)\quad\text{para todo }x\in X\cap(a-\delta,a+\delta).

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