Usando a definição precisa de limite, prove que lim x +infty 1raizx=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando a definição precisa de limite, que quando x vai para mais infinito, 1raizx tende a 0. Isso envolve o conceito de limite no infinito e a definição de limite usando epsilon e N.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que limx +infty f(x) = L. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno epsilon > 0, existe um número N tal que, para todo x > N, a diferença |f(x) - L| é menor que epsilon. No nosso caso, f(x) = 1raizx e L = 0.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso:
Para todo epsilon > 0, queremos encontrar um N tal que, se x > N, então |1raizx - 0| < epsilon. Simplificando isso, precisamos que 1raizx < epsilon.

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade 1raizx < epsilon para x:
1raizx < epsilon implies raizx > 1epsilon implies x > (1epsilon)^2 = 1epsilon^2
Isso significa que, se escolhermos N = 1epsilon^2, toda vez que x > N, a condição 1raizx < epsilon será satisfeita.

Resposta

Portanto, de acordo com a definição precisa de limite, mostramos que limx +infty 1raizx = 0.

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