Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico:
da elipse de vértices (pm 5,0) e excentricidade e=35, onde e é a razão entre a distância focal e o comprimento do eixo maior. Os focos estão no eixo Ox ;

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço de uma elipse centrada na origem, com eixo maior ao longo de Ox, vértices em (pm5,0) e excentricidade e=tfrac35. Vamos usar as definições de semieixos e a relação entre a, b e c para obter a forma padrão.

Passo 2

O semieixo maior a é a distância do centro a cada vértice. Como os vértices são (pm5,0), temos
a = 5

Passo 3

A excentricidade é definida por
e = ca,
onde c é a distância do centro a cada foco. Logo
c = e,a = 35times5 = 3
Os focos estão em (pm3,0).

Passo 4

Para encontrar o semieixo menor b usamos a relação
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo a^2=25 e c^2=9, vem
b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16,
portanto
b = 4

Passo 5

A forma padrão da elipse com eixo maior em x é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a^2=25 e b^2=16, obtemos
x^225 + y^216 = 1

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices em (pm5,0).
  • Co-vértices em (0,pm4).
  • Focos em (pm3,0).
    Desenha-se a elipse passando pelos vértices e tangenciando o retângulo de cantos (pm5,pm4).

Resposta

Equação da elipse:
x^225 + y^216 = 1
Esboço: elipse centrada na origem, maior eixo de comprimento 2a=10 ao longo de x, menor eixo de comprimento 2b=8 ao longo de y, com focos em (pm3,0).

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