Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
y^2-x^2=16

Passo 1

O enunciado dá a cônica
y^2-x^2=16
e pede que a identifiquemos, encontremos seus vértices, focos, medidas dos eixos e, no caso de hipérbole, suas assíntotas. Vamos usar a teoria de cônicas em forma padrão.

Passo 2

Para ver que tipo de cônica é, colocamos em forma padrão dividindo ambos os lados por 16:
y^216-x^216=1
Como o termo positivo vem com y^2, é uma hipérbole central com eixo transverse vertical, centrada em (0,0).

Passo 3

Na forma
y^2a^2-x^2b^2=1
vemos que
a^2=16, b^2=16Longrightarrow a=b=4
O parâmetro c dos focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=16+16=32,
logo
c=4raiz2
Os vértices, ao longo do eixo y, são
(0,pm a)=(0,pm4),
e os focos são
(0,pm c)=l(0,pm4raiz2r)

Passo 4

A hipérbole abre para cima e para baixo, de modo que seu eixo transverse tem comprimento
2a=2cdot4=8,
e seu eixo conjugado (horizontal) tem comprimento
2b=2cdot4=8
As assíntotas de uma hipérbole nessa orientação são dadas por
y=pmab,x
e como a=b, temos
y=pm x

Resposta

Hipérbole central, com:
vértices em (0,4) e (0,-4);
focos em l(0,4raiz2r) e l(0,-4raiz2r);
comprimento do eixo transverse 2a=8 e do eixo conjugado 2b=8;
assíntotas y=x e y=-x.

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