Fixe
positivo e considere
. Defina
.
(a) Se
, então mostre que
.
(b) Mosrte que
é um grupo abeliano.
(a) Se
(b) Mosrte que
Passo 1
O enunciado fixa um real positivo
e define
com a operação
O objetivo é (a) mostrar que
implica
(fecho) e (b) verificar que
é um grupo abeliano: fecho, elemento neutro, inverso, associatividade e comutatividade.
Passo 2
Mostramos o fecho. Primeiro, para
temos
e
, logo
implicando
ou seja, o denominador está bem definido e positivo.
Agora definamos
Agora definamos
Queremos ver que
. Observe:
Como
,
e
, segue
, i.e.\
.
De modo análogo,
De modo análogo,
pois
,
. Logo
. Concluímos que
, isto é,
.
Passo 3
Elemento neutro e inverso.
- Se definirmos
, então para todo
Logo
é o neutro.
- Dado
, tome . Então
logo
é a inversa de
.
Passo 4
Comutatividade é imediata pois a expressão de
é simétrica em
e
:
Passo 5
Associatividade via isomorfismo com
. Defina
Então para
,
Pela identidade hiperbólica
logo
Isso significa
Como
é associativa em
,
é associativa em
.