Fixe c \in \mathbb{R} positivo e considere G=\{x \in \mathbb{R} \mid-c<x<c\}. Defina a \square b:=\frac{a+b}{1+(a b) / c^{2}}.
(a) Se a, b \in G, então mostre que a \square b \in G.
(b) Mosrte que (G, \square) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado fixa um real positivo c e define
G = \{x\in\mathbb{R}\mid -c < x < c\}
com a operação
a \,\square\, b := \frac{a + b}{1 + \frac{a b}{c^2}}\,.
O objetivo é (a) mostrar que a,b\in G implica a\square b\in G (fecho) e (b) verificar que (G,\square) é um grupo abeliano: fecho, elemento neutro, inverso, associatividade e comutatividade.

Passo 2

Mostramos o fecho. Primeiro, para a,b\in G temos -c<a<c e -c<b<c, logo
-1 < \frac{ab}{c^2} < 1
implicando
1 + \frac{ab}{c^2} > 0,
ou seja, o denominador está bem definido e positivo.
Agora definamos
x = a \,\square\, b = \frac{a+b}{1 + \tfrac{ab}{c^2}}.
Queremos ver que -c < x < c. Observe:
c - x = c - \frac{a+b}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = \frac{c\bigl(1 + \tfrac{ab}{c^2}\bigr) - (a+b)}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = \frac{\bigl(c - a\bigr)\bigl(c - b\bigr)}{c\bigl(1 + \tfrac{ab}{c^2}\bigr)}.
Como c-a>0, c-b>0 e 1 + ab/c^2>0, segue c - x>0, i.e.\ x<c.
De modo análogo,
x + c = \frac{(a+b) + c\bigl(1 + \tfrac{ab}{c^2}\bigr)}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = \frac{(c + a)(c + b)}{c\bigl(1 + \tfrac{ab}{c^2}\bigr)} > 0,
pois c+a>0, c+b>0. Logo -c < x. Concluímos que x\in(-c,c), isto é, a\square b\in G.

Passo 3

Elemento neutro e inverso.
  • Se definirmos e=0, então para todo a\in G
a \,\square\, 0 = \frac{a+0}{1 + \tfrac{a\cdot0}{c^2}} = a, \quad 0 \,\square\, a = a.
Logo 0 é o neutro.
  • Dado a\in G, tome a^{-1} = -a. Então
a \,\square\, (-a) = \frac{a - a}{1 - \tfrac{a^2}{c^2}} = 0,
logo -a é a inversa de a.

Passo 4

Comutatividade é imediata pois a expressão de a\square b é simétrica em a e b:
a \,\square\, b = \frac{a+b}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = \frac{b+a}{1 + \tfrac{ba}{c^2}} = b \,\square\, a.

Passo 5

Associatividade via isomorfismo com (\mathbb{R},+). Defina
\varphi\colon G \to \mathbb{R},\quad \varphi(x) = \operatorname{arctanh}\!\bigl(\tfrac{x}{c}\bigr).
Então para a,b\in G,
\varphi(a) = A,\quad \varphi(b)=B \;\Longrightarrow\; \operatorname{tanh} A = \frac{a}{c},\;\operatorname{tanh} B=\frac{b}{c}.
Pela identidade hiperbólica
\operatorname{tanh}(A+B) = \frac{\operatorname{tanh} A + \operatorname{tanh} B}{1 + \operatorname{tanh} A\,\operatorname{tanh} B} = \frac{\tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{c}}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = \frac{a+b}{c\bigl(1 + \tfrac{ab}{c^2}\bigr)},
logo
c\,\operatorname{tanh}(A+B) = \frac{a+b}{1 + \tfrac{ab}{c^2}} = a \,\square\, b.
Isso significa
\varphi(a \,\square\, b) = A + B = \varphi(a) + \varphi(b).
Como + é associativa em \mathbb{R}, \square é associativa em G.

Resposta

(G,\square) é um grupo abeliano, cujo neutro é 0 e em que a inversa de a é -a.

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