Seja
um grupo com elemento neutro
. Sejam
e
elementos de
satisfazendo a relação
, sendo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado trabalha com um grupo
, diz que conjugar
por
dobra o expoente, ou seja
e pede para mostrar que, conjugando
por
, o expoente fica
:
O conteúdo aqui é conjugação em grupo e uso de indução para exibir o padrão de potências.
Passo 2
Defina a aplicação de conjugação
Pela associatividade e propriedades de inverso em grupos, para quaisquer
vale
Passo 3
Como
preserva produto, ela preserva potências positivas por indução no expoente
:
Base :
Base
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo
.
Passo 4
Agora iteramos a conjugação
vezes sobre
. Denotando
a composição de
consigo mesma
vezes, temos por indução em
:
Base :
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Isso mostra que
Passo 5
Bastou substituir
na fórmula geral: