Seja (G, \square) um grupo com elemento neutro e. Sejam a e b elementos de G satisfazendo a relação a \square b \square a^{-1}=b^{2}, sendo b \neq e. Mostre que a^{5} \square b \square a^{-5}=b^{32}.

Passo 1

O enunciado trabalha com um grupo (G,\square), diz que conjugar b por a dobra o expoente, ou seja
a \square b \square a^{-1}=b^{2},
e pede para mostrar que, conjugando b por a^{5}, o expoente fica 2^{5}=32:
a^{5}\square b\square a^{-5}=b^{32}.
O conteúdo aqui é conjugação em grupo e uso de indução para exibir o padrão de potências.

Passo 2

Defina a aplicação de conjugação
\varphi\colon G\to G,\quad \varphi(x)=a\square x\square a^{-1}.
Pela associatividade e propriedades de inverso em grupos, para quaisquer x,y\in G vale
\varphi(x\square y) = a\square(x\square y)\square a^{-1} =(a\square x)\square(y\square a^{-1}) =(a\square x\square a^{-1})\square(a\square y\square a^{-1}) =\varphi(x)\square\varphi(y).

Passo 3

Como \varphi preserva produto, ela preserva potências positivas por indução no expoente m:
Base m=1:
\varphi(b)=b^{2}\quad\text{(dado).}
Passo indutivo: suponha \varphi(b^{m})=\varphi(b)^{m}. Então
\varphi(b^{m+1}) =\varphi(b^{m}\square b) =\varphi(b^{m})\square\varphi(b) =\bigl(\varphi(b)\bigr)^{m}\square\varphi(b) =\bigl(b^{2}\bigr)^{m}\square b^{2} =b^{2m}\square b^{2} =b^{2(m+1)}.
Logo \varphi(b^{m})=(b^{2})^{m}=b^{2m}.

Passo 4

Agora iteramos a conjugação n vezes sobre b. Denotando \varphi^{n} a composição de \varphi consigo mesma n vezes, temos por indução em n:
Base n=1: \varphi^{1}(b)=\varphi(b)=b^{2}=b^{2^{1}}.
Passo indutivo: suponha \varphi^{n}(b)=b^{2^{n}}. Então
\varphi^{n+1}(b) =\varphi\bigl(\varphi^{n}(b)\bigr) =\varphi\bigl(b^{2^{n}}\bigr) =b^{2\cdot 2^{n}} =b^{2^{n+1}}.
Isso mostra que
a^{n}\square b\square a^{-n} =\varphi^{n}(b) =b^{2^{n}} \quad\forall n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Bastou substituir n=5 na fórmula geral:
a^{5}\square b\square a^{-5} =b^{2^{5}} =b^{32}.

Resposta

a^{5}\square b\square a^{-5}=b^{32}.

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