Fixe uma orientação de V^3. Calcule [u, v, w], sabendo que |u|=1,|v|=2,|w|=3 e que (u, v, w) é uma base ortogonal negativa de V^3.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do valor do produto misto
[,vec u,vec v,vec w,]
num espaço orientado V^3, sabendo que |vec u|=1, |vec v|=2, |vec w|=3 e que (vec u,vec v,vec w) forma uma base ortogonal de orientação negativa.

Passo 2

Lembrando que o produto misto [,vec u,vec v,vec w,] é o volume orientado do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w. Para uma base ortogonal, ele vale o produto das normas vezes o sinal da orientação, ou seja,
[,vec u,vec v,vec w,] =varepsilon;|vec u|;|vec v|;|vec w|,
onde varepsilon=+1 se a base for positivamente orientada, e varepsilon=-1 se for negativamente orientada.

Passo 3

Aqui temos uma base ortogonal negativa, logo varepsilon=-1. Além disso,
|vec u|;|vec v|;|vec w| =1cdot2cdot3=6

Resposta

[,vec u,vec v,vec w,]=-6

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