Fixe uma orientação de V^3 e seja E=(i, j, k) uma base ortonormal positiva de V^3. Determine as coordenadas de u wed>= v na base E nos seguintes casos:
(1) [u]E=(6,-2,-4) e [v]E=(-1,-2,1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial (ou seja, o wedge) de u e v em V^3 equipado com uma base ortonormal positiva E=(i,j,k). Temos
[u]E = (6,-2,-4), [v]E = (-1,-2,1)
O conteúdo aqui é o produto vetorial, que em coordenadas se obtém via determinante.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante em bloco:
utimesv =det i & j & k 6 & -2 & -4 -1 & -2 & 1

Passo 3

Calculamos a componente na direção i (primeira componente):
(utimesv)1 = det-2 & -4-2 & 1 = (-2)cdot1 - (-4)cdot(-2) = -2 - 8 = -10

Passo 4

Calculamos a componente na direção j (segunda componente), lembrando do sinal - no meio:
(utimesv)2 = -det6 & -4-1 & 1 = -l(6cdot1 - (-4)cdot(-1)r) = -(6 - 4) = -2

Passo 5

Calculamos a componente na direção k (terceira componente):
(utimesv)3 = det6 & -2-1 & -2 = 6cdot(-2) - (-2)cdot(-1) = -12 - 2 = -14

Passo 6

Juntando as três componentes, o vetor produto vetorial em E fica
utimesv = (-10),i + (-2),j + (-14),k

Resposta

As coordenadas de uwed>=v na base E são
(-10,,-2,,-14)

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