Fixe uma orientação de
e seja
uma base ortonormal positiva de
. Determine as coordenadas do vetor
na base
sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(3) Se
é o vetor dado por
e
é o ângulo formado entre os vetores
e
, então
.
(3) Se
Passo 1
O enunciado fixa uma base ortonormal positiva
de um espaço vetorial tridimensional
e nos dá um vetor
cujas coordenadas em
são
Queremos encontrar quais devem ser as coordenadas de um vetor
em
de modo que o cosseno do ângulo
entre
e
seja positivo, ou seja,
Passo 2
Pela definição de cosseno do ângulo entre dois vetores numa base ortonormal vale
Em coordenadas em
escrevemos
e já sabemos que
e
Logo
Passo 3
Para que
basta que o numerador
seja positivo (pois
para
). Portanto a única restrição imposta por
é
Resposta
Em coordenadas na base
, o vetor
pode ser escrito como
sujeito apenas à condição