Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva de V^3. Determine as coordenadas do vetor x na base E sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(3) Se w é o vetor dado por [w]E=(0,1,0) e theta é o ângulo formado entre os vetores x e w, então cos theta>0.

Passo 1

O enunciado fixa uma base ortonormal positiva E de um espaço vetorial tridimensional V^3 e nos dá um vetor vec w cujas coordenadas em E são
[vec w]E = (0,1,0)
Queremos encontrar quais devem ser as coordenadas de um vetor vec x em E de modo que o cosseno do ângulo theta entre vec x e vec w seja positivo, ou seja,
costheta > 0

Passo 2

Pela definição de cosseno do ângulo entre dois vetores numa base ortonormal vale
costheta ;=;vec xcdotvec w|vec x|;|vec w|
Em coordenadas em E escrevemos vec x=[vec x]E=(x1,x2,x3) e já sabemos que |vec w|=1 e
vec xcdotvec w = x1cdot 0 + x2cdot 1 + x3cdot 0 = x2
Logo
costheta = x2|vec x|

Passo 3

Para que costheta>0 basta que o numerador x2 seja positivo (pois |vec x|>0 para vec xneqvec 0). Portanto a única restrição imposta por costheta>0 é
x2>0

Resposta

Em coordenadas na base E, o vetor vec x pode ser escrito como
[vec x]E = (x1,,x2,,x3)
sujeito apenas à condição
x2 > 0

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