Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva. Calcule [u, v, w], onde [u]E=(-1,-3,1), [v]E=(1,0,1) e [w]E=(2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o produto misto [vec u,vec v,vec w] num espaço vetorial R^3 com base ortonormal positiva E. Lembrando que, nessa situação,
[vec u,vec v,vec w] =detl([vec u]E;|;[vec v]E;|;[vec w]Er),
ou seja, basta montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de vec u,vec v,vec w em E e calcular o determinante.

Passo 2

Vamos montar a matriz M das coordenadas em E:
M = -1 & 1 & 2 -3 & 0 & 1 1 & 1 & 1 ,
onde a primeira coluna é [vec u]E, a segunda é [vec v]E e a terceira é [vec w]E.

Passo 3

Calculamos det M expandindo pela primeira linha (regra de Laplace):
det M = (-1)l(0cdot1 - 1cdot1r) - 1l((-3)cdot1 - 1cdot1r) + 2l((-3)cdot1 - 0cdot1r)
det M = (-1)(-1) - 1(-4) + 2(-3) = 1 + 4 - 6 = -1

Resposta

-1

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