Verifique em cada um dos casos abaixo se as bases E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) têm a mesma orientação:
(2) f1=e1+e2+e3, f2=e1-e2-e3 e f3=e1+e2-e3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as bases
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3)
e
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3)
têm a mesma orientação em R^3.
Conteúdo: orientação de bases via determinante da matriz de mudança de base.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de overrightarrow fi na base E:
overrightarrow f1 = overrightarrow e1 + overrightarrow e2 + overrightarrow e3 Longrightarrow (1,1,1),
overrightarrow f2 = overrightarrow e1 - overrightarrow e2 - overrightarrow e3 Longrightarrow (1,-1,-1),
overrightarrow f3 = overrightarrow e1 + overrightarrow e2 - overrightarrow e3 Longrightarrow (1,1,-1)

Passo 3

Montamos a matriz de mudança de base M de E para F cujas colunas são essas coordenadas:
M = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & -1 & -1
Agora calculamos det M.

Passo 4

Fazendo expansão de Laplace pela primeira linha:
det M =1cdotdet!-1 & 1-1 & -1 -1cdotdet!1 & 11 & -1 +1cdotdet!1 & -11 & -1
Calculando cada menor:
det-1 & 1-1 & -1=2, det1 & 11 & -1=-2, det1 & -11 & -1=0
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det M = 1cdot2 - 1cdot(-2) + 1cdot0 = 4 > 0

Resposta

As bases E e F têm a mesma orientação, pois det M>0.

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