Fixe uma orientão de
. Dada uma base ortonormal positiva
, mostre que:
Passo 1
O enunciado está em
com uma base ortonormal positiva
. Queremos mostrar as regras do produto vetorial (escrito aqui
), a saber
e as mesmas trocando a ordem, o que só muda o sinal por antissimetria.
Passo 2
Lembramos a definição do produto vetorial em termos do determinante e do produto interno: para quaisquer
onde
é o produto interno para o qual
é ortonormal. Esta definição garante bilinearidade, antissimetria e que
é ortogonal ao plano gerado por
.
Passo 3
Vamos calcular
. Escrevemos
e determinamos
usando
Como
e vetores distintos são ortogonais, conclui-se
. Logo
Passo 4
Pela antissimetria do produto vetorial vem imediatamente
Passo 5
Fazendo a mesma ideia para os pares
e
, ou usando permutações cíclicas no determinante, obtemos
E de novo, invertendo a ordem em cada um, muda o sinal: