Fixe uma orientão de V^3. Dada uma base ortonormal positiva (i, j, k), mostre que:
i wed>= j=k, j wed>= k=i, k wed>= i=j e j wed>= i=-k, k wed>= j=-i, i wed>= k=-j

Passo 1

O enunciado está em V^3 com uma base ortonormal positiva (vec i,vec j,vec k). Queremos mostrar as regras do produto vetorial (escrito aqui wed>=), a saber
vec iwed>=vec j=vec k,; vec jwed>=vec k=vec i,; vec kwed>=vec i=vec j
e as mesmas trocando a ordem, o que só muda o sinal por antissimetria.

Passo 2

Lembramos a definição do produto vetorial em termos do determinante e do produto interno: para quaisquer u, v, win V^3
lang<= uwed>= v, wrang<= =detl[ u; v; wr],
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno para o qual vec i,vec j,vec k é ortonormal. Esta definição garante bilinearidade, antissimetria e que uwed>= v é ortogonal ao plano gerado por u, v.

Passo 3

Vamos calcular vec iwed>=vec j. Escrevemos
vec iwed>=vec j =alpha,vec i+beta,vec j+gamma,vec k
e determinamos alpha,beta,gamma usando
lang<= vec iwed>=vec j,vec irang<= =det[vec i,vec j,vec i]=0, lang<= vec iwed>=vec j,vec jrang<= =det[vec i,vec j,vec j]=0,
lang<= vec iwed>=vec j,vec krang<= =det[vec i,vec j,vec k]=1
Como lang<=vec i,vec irang<==lang<=vec j,vec jrang<==lang<=vec k,vec krang<==1 e vetores distintos são ortogonais, conclui-se
alpha=0,beta=0,gamma=1. Logo
vec iwed>=vec j=vec k

Passo 4

Pela antissimetria do produto vetorial vem imediatamente
vec jwed>=vec i =-(vec iwed>=vec j) =-vec k

Passo 5

Fazendo a mesma ideia para os pares (vec j,vec k) e (vec k,vec i), ou usando permutações cíclicas no determinante, obtemos
vec jwed>=vec k=vec i, vec kwed>=vec i=vec j
E de novo, invertendo a ordem em cada um, muda o sinal:
vec kwed>=vec j=-vec i, vec iwed>=vec k=-vec j

Resposta

iwed>= j=k, jwed>= k=i, kwed>= i=j,
jwed>= i=-k, kwed>= j=-i, iwed>= k=-j

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