Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w, onde [u]E=(2,-2,0),[v]E=(0,1,0) e [w]E=(-2,-1,-1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores vec u,vec v,vec w em V^3 cujas coordenadas na base ortonormal positiva E são
[vec u]E=(2,-2,0),[vec v]E=(0,1,0),[vec w]E=(-2,-1,-1)
Queremos o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores, que é o valor absoluto do produto misto vec ucdot(vec vtimesvec w).

Passo 2

Como E é ortonormal e positivamente orientada, o produto misto coincide com o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de vec u,vec v,vec w. Assim
Volume = l|det Ar|
onde
A = 2 & 0 & -2 -2 & 1 & -1 0 & 0 & -1

Passo 3

Calculemos det A por expansão de Laplace na primeira linha:
det A =2cdotl(1cdot(-1)-(-1)cdot0r) -0cdotl((-2)cdot(-1)-(-1)cdot0r) +(-2)cdotl((-2)cdot0-1cdot0r)
=2cdot(-1)-0+(-2)cdot0 = -2

Passo 4

Portanto o volume do paralelepípedo é
Volume = l|det Ar| = |-2| = 2

Resposta

O volume é 2.

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