Fixe uma orientação de
e seja
uma base ortonormal positiva. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
,
e
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
em
cujas coordenadas na base ortonormal positiva
são
Queremos o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores, que é o valor absoluto do produto misto
.
Passo 2
Como
é ortonormal e positivamente orientada, o produto misto coincide com o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de
. Assim
onde
Passo 3
Calculemos
det A por expansão de Laplace na primeira linha:
Passo 4
Portanto o volume do paralelepípedo é
Resposta
O volume é
2 .