Fixe uma orientação de
e seja
uma base ortonormal positiva de
. Determine as coordenadas do vetor
na base
sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(1)
é ortogonal aos vetores
e
, onde
e
(1)
Passo 1
O enunciado pede para achar as coordenadas de
na base ortonormal positiva
de
, sabendo que
é ortogonal a
e
, cujas coordenadas em
são
e
, respectivamente. O conteúdo aqui é o produto vetorial em
e uso da orientação para fixar o sinal de
.
Passo 2
Em um espaço euclidiano tridimensional orientado positivamente, o produto vetorial
é um vetor ortogonal a
e
e cujo sinal reflete a orientação positiva. Assim
satisfaz a condição de ortogonalidade e usa a orientação de
para determinar o sinal de
.
Passo 3
Calculamos
pelas coordenadas dadas:
Passo 4
Concluímos que, na base ortonormal positiva
,
Resposta
As coordenadas de
na base
são