Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva de V^3. Determine as coordenadas do vetor x na base E sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(1) x é ortogonal aos vetores u e v, onde [u]E=(1,1,0) e [v]E=(-1,0,1) ;

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas de vec x na base ortonormal positiva E de V^3, sabendo que vec x é ortogonal a
vec u e vec v, cujas coordenadas em E são (1,1,0) e (-1,0,1), respectivamente. O conteúdo aqui é o produto vetorial em R^3 e uso da orientação para fixar o sinal de vec x.

Passo 2

Em um espaço euclidiano tridimensional orientado positivamente, o produto vetorial vec utimesvec v é um vetor ortogonal a vec u e vec v e cujo sinal reflete a orientação positiva. Assim
vec x = vec u times vec v
satisfaz a condição de ortogonalidade e usa a orientação de E para determinar o sinal de vec x.

Passo 3

Calculamos vec utimesvec v pelas coordenadas dadas:
vec u times vec v = (1,1,0)times(-1,0,1) = l(1cdot1 - 0cdot0,;-(1cdot1 - 0cdot(-1)),;1cdot0 - 1cdot(-1)r) = (1,,-1,,1)

Passo 4

Concluímos que, na base ortonormal positiva E,
[x]E = (1,,-1,,1)

Resposta

As coordenadas de vec x na base E são
[x]E = (1,,-1,,1)

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