Sejam
operadores diagonalizáveis que comutam. Então eles são simultaneamente diagonalizáveis, i.e. existe uma base
de
tal que
consiste de autovetores de
e de
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que, se dois operadores lineares diagonalizáveis
comutam (
), então existe uma base de
formada por autovetores comuns de
e de
. O conteúdo aqui é teoria de diagonalização, decomposição em soma direta de autovalores e invariância de subespaços.
Passo 2
Como
é diagonalizável, sabemos que o espaço
se decompõe em soma direta de seus autespaços:
onde (E_\lambda(S)={v\in V: S(v)=\lambda v}.]
Isso vem do fato de que, para um operador diagonalizável, o polinômio mínimo se separa em fatores lineares distintos.
Passo 3
Como
e
comutam, temos para todo
e para todo
:
logo
Passo 4
A restrição
é diagonalizável, pois seu polinômio mínimo divide o polinômio mínimo de
, que tem todas as raízes simples. Então dentro de cada
podemos escolher uma base formada de autovetores de
.
Passo 5
Agora basta juntar as bases de autovetores de
em cada subespaço
. Como
a união dessas bases é uma base de
Resposta
Existe uma base de
formada por autovetores comuns de
e
, logo eles são simultaneamente diagonalizáveis.