Sejam S, T: V V operadores diagonalizáveis que comutam. Então eles são simultaneamente diagonalizáveis, i.e. existe uma base B de V tal que B consiste de autovetores de S e de T.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, se dois operadores lineares diagonalizáveis S,T:Vto V comutam ( ST=TS), então existe uma base de V formada por autovetores comuns de S e de T. O conteúdo aqui é teoria de diagonalização, decomposição em soma direta de autovalores e invariância de subespaços.

Passo 2

Como S é diagonalizável, sabemos que o espaço V se decompõe em soma direta de seus autespaços:
V=opluslambdainsigma(S)Elambda(S),
onde (E_\lambda(S)={v\in V: S(v)=\lambda v}.]
Isso vem do fato de que, para um operador diagonalizável, o polinômio mínimo se separa em fatores lineares distintos.

Passo 3

Como S e T comutam, temos para todo lambda e para todo vin Elambda(S):
Sl(T(v)r)=Tl(S(v)r)=T(lambda v)=lambda T(v),
logo T(v) também está em Elambda(S). Em outras palavras, cada autespaço Elambda(S) é invariante sob T.

Passo 4

A restrição T|Elambda(S):Elambda(S)to Elambda(S) é diagonalizável, pois seu polinômio mínimo divide o polinômio mínimo de T, que tem todas as raízes simples. Então dentro de cada Elambda(S) podemos escolher uma base formada de autovetores de T|Elambda(S).

Passo 5

Agora basta juntar as bases de autovetores de T em cada subespaço Elambda(S). Como
V=opluslambdaElambda(S),
a união dessas bases é uma base de V e cada vetor é autovetor de S (pela definição de Elambda(S)) e de T (pela escolha). Assim temos simultânea diagonalização.

Resposta

Existe uma base de V formada por autovetores comuns de S e T, logo eles são simultaneamente diagonalizáveis.

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