2- Um fluido de Bingham ( \eta=40 \mathrm{cp}, \tau_{0}=10 \mathrm{~Pa} ) escoa dentro de um tubo de 2 " de diâmetro e 3 m de comprimento, sendo a diferença de pressão entre a entrada e a saída do tubo de 5000 Pa . Determinar: a) a posição em que a velocidade radial do fluido se torna constante (onde \tau=\tau_{0} ); b) a velocidade máxima e a velocidade média do fluido.

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento laminar de um fluido de Bingham num tubo cilíndrico, com tensão de escoamento de arrancamento \tau_{0}=10\\ \mathrm{Pa} e viscosidade plástica aparente \eta=40\\ \mathrm{cP}=0,04\\ \mathrm{Pa\cdot s}. O tubo tem diâmetro interno de 2'' D=2\times0,0254=0,0508\\ \mathrm{m} e comprimento L=3\\ \mathrm{m}, submetido a uma queda de pressão \Delta p=5000\\ \mathrm{Pa}. Precisamos determinar:
a) o raio r_{0} onde a tensão de cisalhamento \tau(r) atinge \tau_{0} (início da região plug),
b) a velocidade máxima u_{\max} (plug) e a velocidade média \bar{u}.

Passo 2

Em escoamento totalmente desenvolvido, a distribuição de tensão de cisalhamento no interior do tubo é
\tau(r)=\frac{r}{2}\,\frac{\Delta p}{L},
onde r é a distância ao centro. O raio interno do tubo é
R=\frac{D}{2}=0,0254\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A posição onde a tensão atinge o valor de arrancamento \tau_{0} satisfaz
\tau(r_{0})=\tau_{0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_{0}}{2}\,\frac{\Delta p}{L}=\tau_{0} \quad\Longrightarrow\quad r_{0}=\frac{2\,L\,\tau_{0}}{\Delta p}.
Substituindo os valores,
r_{0} =\frac{2\cdot3\\ \mathrm{m}\cdot10\\ \mathrm{Pa}}{5000\\ \mathrm{Pa}} =0,012\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Na região de cisalhamento (r_{0}\le r\le R), a taxa de deformação é \dot\gamma=(\tau(r)-\tau_{0})/\eta, e integrando a partir de r até R (com u(R)=0) obtém-se o perfil
u(r) =\frac{\Delta p}{4\,\eta\,L}\,\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr) -\frac{\tau_{0}}{\eta}\,(R-r).
Dentro do plug (0\le r\le r_{0}), a velocidade é constante igual a
u_{\max}=u(r_{0}) =\frac{\Delta p}{4\,\eta\,L}\,\bigl(R^{2}-r_{0}^{2}\bigr) -\frac{\tau_{0}}{\eta}\,(R-r_{0}).

Passo 5

Calculando numericamente u_{\max}:
\frac{\Delta p}{4\,\eta\,L} =\frac{5000}{4\cdot0,04\cdot3}\approx10416{,}7\\ \mathrm{s^{-1}}, \quad R^{2}-r_{0}^{2}=0{,}0254^{2}-0{,}012^{2}\approx5,0116\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
\frac{\tau_{0}}{\eta}= \frac{10}{0,04}=250\\ \mathrm{s^{-1}}, \quad R-r_{0}=0{,}0254-0{,}012=0{,}0134\\ \mathrm{m}.
Logo
u_{\max} \approx10416{,}7\cdot5,0116\times10^{-4} -250\cdot0,0134 \approx5,218-3,350 \approx1,868\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

A vazão volumétrica é
Q =2\pi\Bigl[\int_{0}^{r_{0}}u_{\max}\,r\,dr +\int_{r_{0}}^{R}u(r)\,r\,dr\Bigr]
e a velocidade média \bar{u}=Q/(\pi R^{2}). Efetuando a integração analítica (ou numérica) obtém-se aproximadamente
Q\approx2{,}633\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}, \quad \pi R^{2}\approx2{,}027\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} \;\Longrightarrow\; \bar{u}\approx1,30\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) r_{0}=0,012\\ \mathrm{m}.
b) u_{\max}\approx1,87\\ \mathrm{m/s}, \bar{u}\approx1,30\\ \mathrm{m/s}.

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