3- Um fluido lei de potência escoa dentro de um tudo de diâmetro D e comprimento L . Demonstrar que
\frac{\overline{\mathrm{v}}}{\mathrm{v}_{\text {max }}}=\frac{2}{2 \mathrm{n}+1}
Demonstrar que a taxa de deformação na parede é igual a
\dot{\gamma}_{\mathrm{p}}=-\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dr}}=\left(\frac{\Delta \mathrm{P}}{2 \mathrm{LK}} \mathrm{R}\right)^{1 / \mathrm{n}}

Passo 1

O enunciado trata do escoamento completamente desenvolvido, laminar, de um fluido que obedece à lei de potência (Ostwald–de Waele) num tubo cilíndrico de raio R (diâmetro D=2R) e comprimento L.
Conteúdo: equilíbrio de forças em escoamento interno, distribuição de tensão cortante \tau(r), lei de potência \tau=K\bigl|\tfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\bigr|^n, integração para obter o perfil de velocidade v(r), cálculo de velocidade máxima v_{\max}=v(0), velocidade média \overline v e razão \overline v/v_{\max}. Também se usará que a perda de carga \Delta P se relaciona ao gradiente de pressão por -\tfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=\tfrac{\Delta P}{L}.

Passo 2

Em escoamento completamente desenvolvido, o equilíbrio radial dá
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r\,\tau_{rz}\bigr) =\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} \quad\longrightarrow\quad \tau_{rz}(r)=-\frac{r}{2}\,\frac{\Delta P}{L}.

Passo 3

Pela lei de potência, a tensão de corte e o gradiente de velocidade relacionam-se por
\tau_{rz}(r)=K\Bigl|\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\Bigr|^{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} =-\Bigl(\frac{\tau_{rz}}{K}\Bigr)^{1/n} =-\Bigl(\frac{\Delta P}{2\,L\,K}\,r\Bigr)^{1/n}.

Passo 4

Integramos de r até a parede R, sabendo que v(R)=0:
v(r) =\int_{r}^{R}\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\,s\Bigr)^{1/n}\mathrm{d}s =\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\Bigr)^{1/n} \int_{r}^{R}s^{1/n}\mathrm{d}s.
Calculando a integral, obtemos
v(r) =\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\Bigr)^{1/n} \bigl(R^{1+1/n}-r^{1+1/n}\bigr).

Passo 5

A velocidade máxima ocorre no centro r=0:
v_{\max}=v(0) =\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\Bigr)^{1/n}R^{1+1/n}.

Passo 6

A velocidade média é
\overline v =\frac{1}{\pi R^{2}} \int_{0}^{R}2\pi\,r\,v(r)\,\mathrm{d}r =\frac{2}{R^{2}}\, \frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\Bigr)^{1/n} \int_{0}^{R}\bigl(R^{1+1/n}-r^{1+1/n}\bigr)r\,\mathrm{d}r.
Avalia­mos
\int_{0}^{R}\!(R^{1+1/n}-r^{1+1/n})\,r\,\mathrm{d}r =R^{3+1/n}\,\frac{n+1}{2(3n+1)},
de onde surge
\overline v =\frac{n}{3n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\Bigr)^{1/n}R^{1+1/n}.

Passo 7

Formando a razão
\frac{\overline v}{v_{\max}} =\frac{\displaystyle\frac{n}{3n+1}} {\displaystyle\frac{n}{n+1}} =\frac{n+1}{3n+1}\,.
Este é o fator de forma que, para n=1, reduz-se a \tfrac12 (fluido newtoniano).

Passo 8

Para a taxa de deformação na parede usamos
\dot\gamma_{p} =-\Bigl.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\Bigr|_{r=R} =\Bigl(\frac{\Delta P}{2LK}\,R\Bigr)^{1/n}.

Resposta

\displaystyle \frac{\overline v}{v_{\max}}=\frac{n+1}{3n+1},\qquad \dot{\gamma}_{p}=\Bigl(\frac{\Delta P}{2\,L\,K}\,R\Bigr)^{1/n}.

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