(3 pts) Um cotovelo de 90^{\circ} em um tubo horizontal é usado para direcionar para cima o escoamento da água com uma vazāo de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O diâmetro de todo o cotovelo é de 10 cm . O cotovelo descarrega água na atmosfera e, portanto, a pressão na saida é a pressão atmosférica local. A diferença de elevação entre os centros da saida e da entrada do cotovelo e de 50 cm . Os pesos do cotovelo e da água que há nele são despreziveis.
\rho_{\text {igua }}=1000 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} ; \quad g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Determine:
(a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo,
(b) As componentes da força de ancoragem necessária \mathbf{R}_{\mathbf{x}} e \mathbf{R}_{\mathbf{y}} para manter o cotovelo no lugar.

Passo 1

O enunciado descreve um cotovelo de 90^\circ por onde escoa água com vazão mássica \dot m=40\,\mathrm{kg/s}. O diâmetro do tubo é d=0,10\,\mathrm m, a saída está à pressão atmosférica p_2=p_{\mathrm{atm}} e 0,50 m acima da entrada. Desprezam-se empenhos, viscosidade e peso próprio do cotovelo e da água nele contida.
Conteúdos necessários: equação de Bernoulli sem perdas e equação de quantidade de movimento (momento) para volume de controle.

Passo 2

Calculamos a velocidade de escoamento no tubo, sabendo que
Q = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{40}{1000} = 0,040\\ \mathrm{m^3/s},
e a área da seção
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0,10)^2}{4} \approx 7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
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V = \frac{Q}{A} \approx \frac{0,040}{7{,}854\times10^{-3}} \approx 5{,}09\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre a entrada (seção 1) e a saída (seção 2), desprezando perdas e adotando fator de correção cinética igual a 1:
\frac{p_1}{\rho} + \frac{V^2}{2} + g z_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{V^2}{2} + g z_2.
Como p_2=p_{\mathrm{atm}} (logo pressão manométrica zero) e as velocidades nas duas seções são iguais, o termo \tfrac{V^2}{2} cancela, restando
\frac{p_1}{\rho} = g\,(z_2 - z_1) = g\,(0{,}50).
Portanto a pressão manométrica na entrada é
p_{1,\mathrm{man}} = \rho g\,0{,}50 = 1000\cdot9,81\cdot0{,}50 \approx 4{,}905\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Para obter a força de ancoragem, fazemos o balanço de momento linear no volume de controle que envolve a água no cotovelo. As únicas forças externas sobre o fluido são as forças de pressão nas seções e a força do tubo sobre o fluido, \mathbf F_{\mathrm{pipe}}. Escrevendo
\sum \mathbf F_{\rm ext} = \dot m\,(\mathbf V_2 - \mathbf V_1),
onde \mathbf V_1 = V\,\mathbf i (para a direita) e \mathbf V_2 = V\,\mathbf j (para cima).
A força de pressão na seção 1 vale \mathbf F_{p1} = +p_1 A\,\mathbf i,
e na saída é nula no modelo gauge. Assim
\mathbf F_{p1} + \mathbf F_{\mathrm{pipe}} = \dot m\bigl(V\,\mathbf j - V\,\mathbf i\bigr) = \dot m\,V\,(\mathbf j-\mathbf i).
Isolando \mathbf F_{\mathrm{pipe}},
\mathbf F_{\mathrm{pipe}} = \dot m\,V\,(\mathbf j-\mathbf i)\;-\;p_1 A\,\mathbf i.

Passo 5

Substituindo números:
\dot m\,V = 40\cdot5{,}09 \approx 203{,}6\\ \mathrm N, \qquad p_1 A = 4{,}905\times10^3\cdot7{,}854\times10^{-3}\approx38{,}5\\ \mathrm N.
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\mathbf F_{\mathrm{pipe}} = 203{,}6\,\mathbf j \;-\;203{,}6\,\mathbf i \;-\;38{,}5\,\mathbf i = -242{,}1\,\mathbf i \;+\;203{,}6\,\mathbf j\quad(\mathrm N).
Esta é a força que o tubo exerce sobre o fluido; a reação de ancoragem \mathbf R tem sentido oposto:
\boxed{ \mathbf R = -\mathbf F_{\mathrm{pipe}} = +242{,}1\,\mathbf i \;-\;203{,}6\,\mathbf j\quad(\mathrm N). }

Resposta

(a) p_{1,\mathrm{man}} \approx 4{,}91\\ \mathrm{kPa}.
(b) \displaystyle R_x = +242\\ \mathrm N,\quad R_y = -204\\ \mathrm N (ou seja, 242 N para a direita e 204 N para baixo).

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