Um fluido de densidade 1 kg m^-3 flui com velocidade v=x i+y j+2 z k m s ^-1. Determine a taxa de vazão kg s^-1 do fluido saindo da esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um fluido de densidade rho=1,kg/m^{3}) com campo de velocidade
v(x,y,z)=x,i+y,j+2z,k
e queremos determinar a taxa de vazão de massa saindo da esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 2

A definição de taxa de vazão de massa é
dot m ;=;integral duplaSrho,vcdotn,dS,
onde S é a superfície da esfera e n o vetor normal externo. Pelo teorema da divergência (Gauss), isso vira um integral de volume:
dot m ;=;integral triplaVnablacdot(rho,v),dV ;=; rho;integral triplaVnablacdotv,dV,
pois rho é constante.

Passo 3

Calcular a divergência de v:
nablacdotv =partialpartial x(x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(2z) =1+1+2=4

Passo 4

O volume da esfera de raio 3 é
V=43pi(3)^3=36pi

Passo 5

Substituindo em
dot m =rho;l(nablacdotvr);V =1cdot4cdot36pi =144pi

Resposta

A taxa de vazão de massa é 144pi kg/s.

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