Seja r(x) o resto da divisão de x^wed>= 1301+41 x^wed>= 448+716 por x^wed>= 2-2 x+1. Calcule r^prime(1).

Passo 1

O enunciado pede o resto r(x) da divisão de
f(x)=x^1301+41,x^448+716
pelo polinômio
x^2-2x+1
e, em seguida, o valor de r'(1). O conteúdo envolvido é o Teorema do Resto para divisores de grau 2 e a relação entre derivadas quando há raiz dupla.

Passo 2

Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2
Como r(x) tem grau menor que 2, escrevemos r(x)=ax+b. A diferença f(x)-r(x) é múltipla de (x-1)^2, logo tem raiz dupla em x=1. Isso implica
r(1)=f(1) e r'(1)=f'(1)

Passo 3

Vamos calcular f'(x) por regra da potência:
f'(x)=ddxl(x^1301r)+41,ddxl(x^448r) =1301,x^1300+41cdot448,x^447

Passo 4

Avaliaremos em x=1:
f'(1)=1301cdot1^1300+41cdot448cdot1^447 =1301+41cdot448
Como 41cdot448=18368, temos
f'(1)=1301+18368=19669
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r'(1)=f'(1)=19669

Resposta

19669

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