Lembre que, para todo inteiro
Utilizando este fato, podemos calcular a soma
O resultado é da forma A•
para certo inteiro A. Qual?
Utilizando este fato, podemos calcular a soma
O resultado é da forma A•
Passo 1
Vamos resolver um exercício de somatórios que envolve progressões geométricas. O enunciado nos pede para calcular a soma $ S = 2^{0} \cdot 1 + 2^{1} \cdot 2 + 2^{2} \cdot 3 + \cdots + 2^{162} \cdot 163 $ e expressar o resultado na forma $ A \cdot 2^{163} + 1 $. Para isso, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica e algumas técnicas de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma que precisamos calcular:
Aqui, cada termo da soma é formado por $ 2^{k} $ multiplicado por $ (k + 1) $, onde $ k $ varia de 0 a 162.
Passo 3
Para resolver essa soma, vamos separar os termos de forma que possamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. Observamos que:
Podemos reescrever $ (k + 1) $ como uma soma constante para facilitar a manipulação.
Passo 4
Vamos multiplicar e dividir a soma por 2 para facilitar o cálculo:
Isso nos ajudará a alinhar os termos de maneira que possamos subtrair as duas somas.
Passo 5
Agora, subtraímos $ S $ de $ 2S $:
Isso simplifica a expressão e facilita a resolução.
Passo 6
Simplificando a subtração:
Aqui, percebemos que a diferença resulta em uma simplificação útil para resolver a soma.
Passo 7
Aplicando a propriedade da soma:
Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica para obter essa expressão.
Resposta
O valor de $ A $ é 81. Portanto, $ S = 81 \cdot 2^{163} + 1 $.