Lembre que, para todo inteiro n >= 0
1+x+x^wed>= 2+x^wed>= 3+cdots+x^wed>= n=((x^wed>= n+1-1) /(x-1))
Utilizando este fato, podemos calcular a soma
2^wed>= 0 cdot 1+2^wed>= 1 cdot 2+2^wed>= 2 cdot 3+2^wed>= 3 cdot 4+cdots+2^wed>= 162 cdot 163
O resultado é da forma A• 2^wed>= 163+1 para certo inteiro A. Qual?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de somatórios que envolve progressões geométricas. O enunciado nos pede para calcular a soma $ S = 2^{0} \cdot 1 + 2^{1} \cdot 2 + 2^{2} \cdot 3 + \cdots + 2^{162} \cdot 163 $ e expressar o resultado na forma $ A \cdot 2^{163} + 1 $. Para isso, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica e algumas técnicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma que precisamos calcular:
S = sumk=0^162 2^k cdot (k + 1)
Aqui, cada termo da soma é formado por $ 2^{k} $ multiplicado por $ (k + 1) $, onde $ k $ varia de 0 a 162.

Passo 3

Para resolver essa soma, vamos separar os termos de forma que possamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. Observamos que:
S = sumk=0^162 2^k cdot (k + 1)
Podemos reescrever $ (k + 1) $ como uma soma constante para facilitar a manipulação.

Passo 4

Vamos multiplicar e dividir a soma por 2 para facilitar o cálculo:
2S = sumk=0^162 2^k+1 cdot (k + 1) = sumk=0^162 2^k+1 cdot (k + 1)
Isso nos ajudará a alinhar os termos de maneira que possamos subtrair as duas somas.

Passo 5

Agora, subtraímos $ S $ de $ 2S $:
S
Isso simplifica a expressão e facilita a resolução.

Passo 6

Simplificando a subtração:
S = sumk=0^162 2^k+1 cdot (k + 1) - sumk=0^162 2^k cdot (k + 1) = sumk=0^162 2^k cdot (k + 1)
Aqui, percebemos que a diferença resulta em uma simplificação útil para resolver a soma.

Passo 7

Aplicando a propriedade da soma:
S = 2^163 cdot 163 - (2^0 cdot 1) = 2^163 cdot 163 - 1
Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica para obter essa expressão.

Resposta

O valor de $ A $ é 81. Portanto, $ S = 81 \cdot 2^{163} + 1 $.

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