Um fluido escoa através de um tubo cilíndrico e o perfil de velocidades do escoamento é v(rho, theta, z)= rho rho+z rho theta+rho cos theta k. Calcule a vorticidade do escoamento do fluido.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades em coordenadas cilíndricas
v(rho,theta,z)=rho,rho+z,rho,theta+rhocostheta,k
e pede a vorticidade omega=nablatimesv.
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas; vamos usar a fórmula do rotacional para um vetor
A=Ar,rho+Atheta,theta+Az,k:
(nablatimesA)r =1rho,partial Azpartialtheta -partial(rho,Atheta)partial z,
(nablatimesA)theta =partial Arpartial z -partial Azpartialrho,
(nablatimesA)z =1rho!gl(partial(rho,Atheta)partialrho -partial Arpartialthetagr)

Passo 2

Identificamos as componentes do nosso campo:
Ar=rho, Atheta=rho,z, Az=rhocostheta

Passo 3

Calculamos a componente radial:
(nablatimesv)r =1rho,partial Azpartialtheta -partial(rho,Atheta)partial z =1rho,partial(rhocostheta)partialtheta -partial(rhocdotrho,z)partial z
Como partial(rhocostheta)/partialtheta=-rhosintheta e partial(rho^2z)/partial z=rho^2, vem
(nablatimesv)r =-sintheta-rho^2

Passo 4

Calculamos a componente azimutal:
(nablatimesv)theta =partial Arpartial z -partial Azpartialrho =partial(rho)partial z -partial(rhocostheta)partialrho =0-costheta =-costheta

Passo 5

Calculamos a componente axial e montamos o vetor:
(nablatimesv)z =1rho!gl(partial(rho,Atheta)partialrho -partial Arpartialthetagr) =1rho!l(partial(rho^2z)partialrho-0r) =1rho(2rho,z) =2,z
Logo a vorticidade é
omega =( -sintheta-rho^2 ),rho -( costheta ),theta +( 2,z ),k

Resposta

omega=( -sintheta-rho^2 ),rho-( costheta ),theta+( 2,z ),k

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