Sobre raio crítico de isolamento:
a) Explique o que é o raio crítico de isolamento, isto é, qual informação ele nos traz?
b) Uma bola esférica de 4 mm de diâmetro a 50^{\circ} \mathrm{C} é envolta com isolamento plástico ( k =0,13 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de 1 mm de espessura. A bola está exposta ao meio a 15{ }^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de transferência de calor por convecção de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Calcule o raio crítico de isolamento e justifique se o isolamento de plástico sobre a bola ajudará ou prejudicará a transferência de calor a partir da bola.

Passo 1

O enunciado trata de uma bola esférica de diâmetro 4,mm à 50{}^{\circ}\mathrm{C}, envolta por isolamento plástico de espessura 1,mm (condutividade térmica k=0,13,W/mK), exposta ao ambiente a 15{}^{\circ}\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=20,W/ m^{2}K. O conteúdo é transferência de calor conjugada (condução esférica + convecção), e vamos usar o conceito de raio crítico de isolamento, que indica o raio externo em que a resistência térmica total é máxima.

Passo 2

Para uma casca esférica de raio interno r_{1} e raio externo r_{2}, a resistência térmica de condução é
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr)
e a resistência de convecção na superfície externa é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,4\pi r_{2}^{2}}.
A resistência total é
R_{\text{tot}}(r_{2})=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.

Passo 3

O raio crítico r_{\mathrm{c}} é obtido impondo \mathrm{d}R_{\text{tot}}/\mathrm{d}r_{2}=0. Calculando
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r_{2}}\Bigl[\frac{1}{4\pi k}\bigl(-\tfrac{1}{r_{2}}\bigr)+\frac{1}{4\pi h\,r_{2}^{2}}\Bigr]=0
leva a
\frac{1}{4\pi k}\,\frac{1}{r_{2}^{2}}-\frac{2}{4\pi h\,r_{2}^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad r_{2}=\frac{2\,k}{h}.
Logo, para esfera,
r_{\mathrm{c}}=\frac{2\,k}{h}.

Passo 4

Substituindo k=0,13,W/mK e h=20,W/ m^{2}K,
r_{\mathrm{c}}=\frac{2\times0,13}{20}=0,013\\ \text{m}=13\\ \text{mm}.

Passo 5

O raio externo atual da bola com isolamento é
r_{2}=r_{1}+\text{espessura} =\frac{4\text{ mm}}{2}+1\text{ mm} =2\text{ mm}+1\text{ mm}=3\text{ mm}=0,003\\ \text{m}.
Como r_{2}=3,mm é menor que r_{\mathrm{c}}=13,mm, adicionar isolamento aumenta a área disponível mais rápido do que a resistência de condução, de modo que o fluxo de calor aumenta (isto é, o isolamento prejudica a retenção térmica da bola).

Resposta

O raio crítico de isolamento é r_{\mathrm{c}}=13,mm, e como o raio externo com isolamento ( 3,mm) é menor que r_{\mathrm{c}}, o isolamento de plástico aumenta a transferência de calor da bola (prejudica o isolamento).

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