resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\left(e^{y}+1\right)^{2} e^{-y} d x+\left(e^{x}+1\right)^{3} e^{-x} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(e^{y}+1\bigr)^{2}e^{-y}\,dx \;+\;\bigl(e^{x}+1\bigr)^{3}e^{-x}\,dy \;=\;0
e pede solução por separação de variáveis. Vamos reescrever de forma a ter um só termo em x multiplicando dx e um só termo em y multiplicando dy, integrar ambos os lados e obter a solução implícita.

Passo 2

Isolamos os diferenciais de x e de y:
\bigl(e^{y}+1\bigr)^{2}e^{-y}\,dx = -\,\bigl(e^{x}+1\bigr)^{3}e^{-x}\,dy.
Agora dividimos por \bigl(e^{y}+1\bigr)^{2}e^{-y} e por \bigl(e^{x}+1\bigr)^{3}e^{-x} para separar variáveis:
\frac{dx}{(e^{x}+1)^{3}e^{-x}} \;=\; -\,\frac{dy}{(e^{y}+1)^{2}e^{-y}}.

Passo 3

Simplificamos cada lado:
\frac{dx}{e^{-x}(e^{x}+1)^{3}} = \frac{e^{x}\,dx}{(e^{x}+1)^{3}}, \qquad -\,\frac{dy}{e^{-y}(e^{y}+1)^{2}} = -\,\frac{e^{y}\,dy}{(e^{y}+1)^{2}}.
Ficamos então com a integral de separação
\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}\,dx \;=\; \int -\,\frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}\,dy.

Passo 4

Para a integral em x, fazemos u = e^{x}+1, logo du = e^{x}\,dx. Assim
\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}\,dx = \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,u^{2}} = -\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}}.

Passo 5

Para a integral em y, fazemos v = e^{y}+1, logo dv = e^{y}\,dy. Assim
\int -\,\frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}\,dy = \int -\,v^{-2}\,dv = \frac{v^{-1}}{1} = \frac{1}{v} = \frac{1}{e^{y}+1}.

Passo 6

Igualando as duas integrais e adicionando constante de integração C, temos
-\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}} = \frac{1}{e^{y}+1} \;+\;C.
Multiplicando por -1 e reorganizando, podemos escrever a solução implícita de forma mais elegante como
\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}} \;+\; \frac{1}{e^{y}+1} \;=\; \widetilde C,
onde \widetilde C=-C é uma constante arbitrária.

Resposta

\frac{1}{2\,(e^{x}+1)^{2}} \;+\; \frac{1}{e^{y}+1} \;=\; C.

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