resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{2 y+3}{4 x+5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\Bigl(\frac{2y+3}{4x+5}\Bigr)^{2}.
O conteúdo da matéria é solução de EDOs por separação de variáveis: precisamos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Separamos variáveis passando os fatores para cada lado:
\frac{dy}{(2y+3)^{2}} \;=\;\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.

Passo 3

Integramos o lado em y. Usamos a substituição u=2y+3, logo du=2\,dy e dy=\tfrac{1}{2}du. Assim,
\int \frac{dy}{(2y+3)^{2}} =\int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{u^{2}} =\tfrac{1}{2}\int u^{-2}du =-\frac{1}{2\,u}+C_{1} =-\frac{1}{2(2y+3)}+C_{1}.

Passo 4

Integramos o lado em x. Usamos a substituição v=4x+5, logo dv=4\,dx e dx=\tfrac{1}{4}dv. Assim,
\int \frac{dx}{(4x+5)^{2}} =\int \frac{\tfrac{1}{4}\,dv}{v^{2}} =\tfrac{1}{4}\int v^{-2}dv =-\frac{1}{4\,v}+C_{2} =-\frac{1}{4(4x+5)}+C_{2}.

Passo 5

Igualamos as duas primitivas (absorvendo C_{1}-C_{2} em uma única constante C):
-\frac{1}{2(2y+3)} = -\frac{1}{4(4x+5)} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2(2y+3)} = \frac{1}{4(4x+5)} + C.
Multiplicando ambos os lados por 2 e simplificando, obtemos a forma implícita da solução:
\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\boxed{\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,}
onde C é constante arbitrária.

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