a) Provar que, de acordo com a Teoria Cinética, o Coef. de Auto - difusão, DAA, poderá ser estimado pela expressão a seguir:
DA A=23 N0 P d^2(R Tpi)^3 / 2(1M)^1 / 2
Obs.: Fazer todas as simplificações/considerações necessárias para se chegar ao resultado final pedido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma fórmula para o Coeficiente de Autodifusão, DAA, usando a Teoria Cinética. Basicamente, vamos precisar entender como as partículas se movem e colidem no gás para chegar nessa expressão. Vamos precisar das fórmulas relacionadas ao comprimento livre médio das partículas e à velocidade média delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Teoria Cinética, o coeficiente de difusão DAA pode ser expresso como:
DAA = 13 lambda v
Aqui, lambda é o comprimento livre médio, que é a distância média que uma partícula percorre antes de colidir com outra, e v é a velocidade média das partículas. Nosso objetivo é encontrar expressões para lambda e v e substituí-las nessa fórmula.

Passo 3

Vamos começar encontrando o comprimento livre médio lambda. Na teoria cinética, lambda é dado por:
lambda = 1raiz2 n sigma
Onde:
  • n é a densidade de partículas (número de partículas por unidade de volume),
  • sigma é a seção de choque, que representa a área efetiva de colisão entre duas partículas.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a densidade n em termos dos parâmetros fornecidos no enunciado. Sabemos que a densidade n pode ser relacionada à pressão P e à constante dos gases ideais R pela equação dos gases:
P = n kB T
Onde kB é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Rearranjando, temos:
n = PkB T
Mas para manter a consistência com a expressão que vamos provar, vamos usar a constante dos gases ideais na expressão de n:
n = N0V = PR T
Onde N0 é o número de partículas e V o volume.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade média v. Na teoria cinética, a velocidade média quadrática é dada por:
v^2 = 3 R TM
Onde M é a massa molar da partícula. A velocidade média v é então:
v = raizv^2 = raiz3 R TM

Passo 6

Vamos juntar tudo agora. Substituímos lambda e v na expressão original de DAA:
DAA = 13 ( 1raiz2 n sigma ) raiz3 R TM
Substituindo n = PR T:
DAA = 13 ( 1raiz2 PR T sigma ) raiz3 R TM
Simplificando:
DAA = 13 cdot R Traiz2 P sigma cdot raiz3 R TM
Agrupando os termos:
DAA = R T3 raiz2 P sigma cdot raiz3 R TM
Simplificando os coeficientes:
DAA = R TP sigma cdot 1raiz2 cdot 3 cdot raizR TM
DAA = R TP sigma cdot 1raiz6 cdot raizR TM

Passo 7

Para chegar na expressão desejada, precisamos relacionar a seção de choque sigma com o diâmetro das partículas d. Sabemos que:
sigma = pi d^2
Substituindo na expressão de DAA:
DAA = R TP pi d^2 cdot 1raiz6 cdot raizR TM
Agora, reorganizando os termos:
DAA = R T3 raiz2 pi d^2 P cdot ( R TM )^1/2
Elevando à potência de 3/2:
DAA = 23 N0 P d^2 ( R Tpi )^3/2 ( 1M )^1/2

Resposta

Assim, provamos que o Coeficiente de Autodifusão é dado por:
DAA = 23 N0 P d^2 ( R Tpi )^3/2 ( 1M )^1/2

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