a) Provar que, de acordo com a Teoria Cinética, o Coef. de Auto - difusão, , poderá ser estimado pela expressão a seguir:
Obs.: Fazer todas as simplificações/considerações necessárias para se chegar ao resultado final pedido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma fórmula para o Coeficiente de Autodifusão, , usando a Teoria Cinética. Basicamente, vamos precisar entender como as partículas se movem e colidem no gás para chegar nessa expressão. Vamos precisar das fórmulas relacionadas ao comprimento livre médio das partículas e à velocidade média delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na Teoria Cinética, o coeficiente de difusão pode ser expresso como:
Aqui, é o comprimento livre médio, que é a distância média que uma partícula percorre antes de colidir com outra, e é a velocidade média das partículas. Nosso objetivo é encontrar expressões para e e substituí-las nessa fórmula.
Passo 3
Vamos começar encontrando o comprimento livre médio . Na teoria cinética, é dado por:
Onde:
é a densidade de partículas (número de partículas por unidade de volume),
é a seção de choque, que representa a área efetiva de colisão entre duas partículas.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a densidade em termos dos parâmetros fornecidos no enunciado. Sabemos que a densidade pode ser relacionada à pressão e à constante dos gases ideais pela equação dos gases:
Onde é a constante de Boltzmann e a temperatura. Rearranjando, temos:
Mas para manter a consistência com a expressão que vamos provar, vamos usar a constante dos gases ideais na expressão de :
Onde é o número de partículas e o volume.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade média . Na teoria cinética, a velocidade média quadrática é dada por:
Onde M é a massa molar da partícula. A velocidade média v é então:
v = raizv^2 = raiz3 R TM
Passo 6
Vamos juntar tudo agora. Substituímos lambda e v na expressão original de DAA:
DAA = 13 ( 1raiz2 n sigma ) raiz3 R TM
Substituindo n = PR T:
DAA = 13 ( 1raiz2 PR T sigma ) raiz3 R TM
Simplificando:
DAA = 13 cdot R Traiz2 P sigma cdot raiz3 R TM
Agrupando os termos:
DAA = R T3 raiz2 P sigma cdot raiz3 R TM
Simplificando os coeficientes:
DAA = R TP sigma cdot 1raiz2 cdot 3 cdot raizR TM
DAA = R TP sigma cdot 1raiz6 cdot raizR TM
Passo 7
Para chegar na expressão desejada, precisamos relacionar a seção de choque sigma com o diâmetro das partículas d. Sabemos que:
sigma = pi d^2
Substituindo na expressão de DAA:
DAA = R TP pi d^2 cdot 1raiz6 cdot raizR TM
Agora, reorganizando os termos:
DAA = R T3 raiz2 pi d^2 P cdot ( R TM )^1/2
Elevando à potência de 3/2:
DAA = 23 N0 P d^2 ( R Tpi )^3/2 ( 1M )^1/2
Resposta
Assim, provamos que o Coeficiente de Autodifusão é dado por: