O fluxo de alimentação para uma coluna de destilação tem uma vazão de 300 \mathrm{mol} / \mathrm{h} contém 20 \% em mol do componente 1 e 80 \% do componente 2 . A vazão do destilado é de 200 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}. Desenhe o fluxograma de blocos do processo com as correntes e realize uma análise de graus de liberdade. Resposta: 1 grau de liberdade

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) desenhar o fluxograma de blocos do processo com as correntes e (2) realizar uma análise de graus de liberdade.
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Vazão de alimentação: \,F=300\\ \mathrm{mol/h}\,.
  • Composição molar da alimentação no componente 1: \,z_{F,1}=0{,}20\, (logo \,z_{F,2}=0{,}80\,).
  • Vazão do destilado: \,D=200\\ \mathrm{mol/h}\,.
    Nada foi fornecido sobre as composições do destilado ou do fundo (essas composições são desconhecidas). A tarefa é, com esses dados, montar as equações de balanço e contar graus de liberdade.

Passo 2

Fluxograma de blocos (descrição textual do desenho):
  • Um bloco representando a coluna de destilação.
  • Três correntes ligadas ao bloco:
    • Alimentação (entrada) \,F=300\\ \mathrm{mol/h}, composição \,z_{F,1}=0{,}20 e \,z_{F,2}=0{,}80.
    • Destilado (saída) \,D=200\\ \mathrm{mol/h}, composição desconhecida \,x_{D,1} e \,x_{D,2}=1-x_{D,1}.
    • Fundo / resto (saída) \,B\\ \mathrm{mol/h} (valor desconhecido inicialmente), composição desconhecida \,x_{B,1} e \,x_{B,2}=1-x_{B,1}.
Anotação das incógnitas explícitas que aparecem no fluxograma: \,B,\;x_{D,1},\;x_{B,1}.

Passo 3

Definição das variáveis (todas em TeX):
  • Vazões totais: \,F=300\\ \mathrm{mol/h} (conhecido), \,D=200\\ \mathrm{mol/h} (conhecido), \,B (desconhecido).
  • Composições do componente 1: \,z_{F,1}=0{,}20 (conhecido), \,x_{D,1} (desconhecido), \,x_{B,1} (desconhecido).
    Contagem inicial de incógnitas: \,B,\;x_{D,1},\;x_{B,1} → total de 3 incógnitas.

Passo 4

Escrever os balanços que relacionam essas variáveis. Para um processo estacionário e bem-misturado (balanço de matéria total e por componente):
  • Balanço total (matéria global):
F = D + B.
  • Balanço do componente 1:
F\,z_{F,1} = D\,x_{D,1} + B\,x_{B,1}.
  • Balanço do componente 2 poderia ser escrito, mas ele é linearmente dependente dos anteriores porque z_{F,2}=1-z_{F,1} e x_{D,2}=1-x_{D,1}, x_{B,2}=1-x_{B,1}. Assim os balanços de componente 1 e 2 juntos não fornecem mais informação que o balanço total + um balanço de componente. Logo as equações independentes disponíveis são: o balanço total e o balanço de um componente (por exemplo componente 1). Portanto número de equações independentes = 2.

Passo 5

Resolver imediatamente o balanço total para obter B (isso reduz o número de incógnitas efetivas):
B = F - D.
Substituindo os valores dados (peguei \,F e \,D do enunciado):
B = 300 - 200 = 100\\ \mathrm{mol/h}.
Agora B está determinado numericamente; restam as composições \,x_{D,1} e \,x_{B,1} como incógnitas livres, com uma única equação de componente que as relaciona.

Passo 6

Substituir B no balanço de componente 1 para obter a equação que liga as duas composições:
F\,z_{F,1} = D\,x_{D,1} + B\,x_{B,1}.
Numericamente:
300\times 0{,}20 = 200\,x_{D,1} + 100\,x_{B,1}.
Calcular lado esquerdo:
60 = 200\,x_{D,1} + 100\,x_{B,1}.
Dividindo por 100 para simplificar:
0{,}6 = 2\,x_{D,1} + x_{B,1}.
Esta é UMA equação relacionando as DUAS incógnitas \,x_{D,1} e \,x_{B,1}. Logo há liberdade para escolher um desses valores; o outro será fixado por essa equação.

Passo 7

Cálculo dos graus de liberdade (grau de liberdade = número de incógnitas independentes menos número de equações independentes):
  • Incógnitas independentes originais: 3 ( B,x_{D,1},x_{B,1}).
  • Equações independentes: 2 (balanço total e balanço do componente 1).
    Logo graus de liberdade:
\text{DOF} = 3 - 2 = 1.
Interpretação prática e exemplo numérico rápido (didático): escolher um valor para \,x_{D,1} fixa \,x_{B,1} pela equação \,0{,}6 = 2x_{D,1} + x_{B,1}. Por exemplo, se assumir \,x_{D,1}=0{,}25 (escolha arbitrária válida), então
x_{B,1} = 0{,}6 - 2(0{,}25) = 0{,}10.
Isso ilustra que uma única especificação adicional (por exemplo especificar a composição do destilado ou do fundo) torna o problema fechado.

Resposta

1 grau de liberdade

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