Uma mistura de etanol-metanol ( 40 \% em peso de etanol, 60 \% de metanol) é alimentada a 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} em uma coluna de destilação. O destilado contém 90% de metanol, e 80 \% do metanol alimentado é recuperado no destilado. Desenhe o fluxograma de blocos do processo com as correntes e realize uma análise de graus de liberdade. Resposta: 0 graus de liberdade

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado, sem resolver ainda):
  • Corrente de alimentação: F = 100\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição da alimentação (por massa): 40\% etanol e 60\% metanol. Vou chamar a fração mássica de metanol na alimentação de z_F = 0{,}6.
  • O destilado contém 90\% de metanol (fração mássica de metanol no destilado x_D = 0{,}9).
  • 80\% do metanol alimentado é recuperado no destilado (recuperação r = 0{,}8).
  • Pedidos do problema:
    • Desenhar o fluxograma de blocos do processo com as correntes (ou descrever as correntes e suas variáveis).
    • Realizar a análise de graus de liberdade.
      Não iniciar cálculos aqui; apenas listar dados e o que é pedido.

Passo 2

Descrição do fluxograma de blocos (coluna de destilação simples, sem correntes de refluxo/ação interna detalhada, apenas balanço global):
  • Bloco: “Coluna de destilação”.
  • Três correntes associadas ao bloco:
    • Alimentação: F com fração mássica de metanol z_F.
    • Destilado (topo): D com fração mássica de metanol x_D.
    • Fundo (resíduo): B com fração mássica de metanol x_B.
  • Variáveis (declaração):
    • Conhecidas: F=100\\ \mathrm{kg/h}, z_F=0{,}6, x_D=0{,}9, r=0{,}8.
    • Desconhecidas a determinar: D, B, x_B.
      Esta descrição vale como o “fluxograma de blocos” pedido: um bloco com as três correntes rotuladas e as variáveis acima.

Passo 3

Equações de balanço que regem o bloco (escrevendo-as e explicando cada termo):
  • Balanço de massa total (conservação de massa): a massa que entra é igual à soma das massas que saem.
F = D + B.
Aqui F é a vazão total de alimentação, D a vazão do destilado e B a vazão do fundo.
  • Balanço de componente (metanol): a massa de metanol na alimentação é igual à soma das massas de metanol nas correntes de saída.
F z_F = D x_D + B x_B.
Aqui z_F é a fração mássica de metanol na alimentação, x_D é a fração mássica de metanol no destilado e x_B é a fração mássica de metanol no fundo.
  • Equação de recuperação (especificação dada): 80\% do metanol alimentado vai para o destilado. Isso fornece diretamente a massa de metanol no destilado:
D x_D = r \, F z_F.
Esta equação expressa a especificação do enunciado.
  • Alternativamente pode-se escrever a massa de metanol no fundo como a fração que não foi recuperada:
B x_B = (1-r)\, F z_F.

Passo 4

Análise dos graus de liberdade (contagem de incógnitas e equações independentes):
  • Incógnitas reais do problema (após considerar os dados dados): D,\; B,\; x_B. (As outras quantidades F,\; z_F,\; x_D,\; r são conhecidas.)
    • Número de incógnitas: 3.
  • Equações independentes disponíveis:
    1. Balanço de massa total: \;F = D + B.
    2. Equação de recuperação (massa de metanol no destilado): \;D x_D = r F z_F.
    3. Massa de metanol no fundo (ou, equivalentemente, balanço de metanol completo): \;B x_B = (1-r) F z_F.
    • Número de equações independentes: 3.
  • Grau de liberdade:
\text{DOF} = \text{nº incógnitas} - \text{nº equações} = 3 - 3 = 0.ºóºçõ
Portanto o sistema está completamente determinado (graus de liberdade zero). Isso significa que, com as especificações dadas, todas as variáveis D,\;B,\;x_B podem ser calculadas sem parâmetros adicionais.

Passo 5

Cálculo numérico das correntes (resolver explicitamente as equações para exemplificar e confirmar DOF = 0):
  • Massa de metanol na alimentação:
F z_F = 100 \times 0{,}6 = 60\\ \mathrm{kg/h}.
  • Metanol no destilado (pela recuperação):
D x_D = r F z_F = 0{,}8 \times 60 = 48\\ \mathrm{kg/h}.
  • Destilado total D (usando x_D=0{,}9):
D = \frac{48}{0{,}9} = 53{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fundo B (balanço total):
B = F - D = 100 - 53{,}333\ldots = 46{,}666\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
  • Metanol no fundo:
B x_B = (1-r) F z_F = 0{,}2 \times 60 = 12\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fração mássica de metanol no fundo:
x_B = \frac{12}{46{,}666\ldots} = 0{,}257142857\ldots \approx 0{,}25714\\ (\text{ou }25{,}714\%).
  • Conferência com etanol (sanidade): etanol na alimentação =100\times0{,}4=40\\ \mathrm{kg/h}; etanol no destilado =D - 48 = 5{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/h}; etanol no fundo =40 - 5{,}333\ldots = 34{,}666\ldots\\ \mathrm{kg/h}. Frações de etanol e metanol somam 1 nas correntes de saída conforme esperado.

Passo 6

Interpretação final e comentário amigável:
  • O fluxograma de blocos é o bloco “Coluna” com as três correntes etiquetadas e as variáveis mostradas no Passo 2.
  • A análise de graus de liberdade mostrou que há exatamente o número de equações necessárias para determinar todas as incógnitas: DOF =0. Em palavras: as especificações dadas (vazão e composição de alimentação, composição do destilado e fração de recuperação do metanol) definem univocamente as vazões e composições das correntes de saída.
  • Valores numéricos (úteis para relatar no fluxograma): D=53{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/h}, B=46{,}666\ldots\\ \mathrm{kg/h}, x_B^{\mathrm{MeOH}}=0{,}257142857\ldots.

Resposta

D=53{,}333\ldots\\ \mathrm{kg/h}
B=46{,}666\ldots\\ \mathrm{kg/h}
x_B^{\mathrm{MeOH}}=0{,}257142857\ldots\\ (\approx0{,}25714)
Grau de liberdade =0

Exercícios relacionados