Foco em Conceitos
Considere e . Se , qual é a relação entre e ? E entre e ?

Passo 1

Na questão, a gente tem dois números complexos em forma trigonométrica e quer condições para serem iguais. Vamos usar o conceito de igualdade de números complexos (partes real e imaginária iguais) e a identidade trigonométrica básica.

Passo 2

Igualando as partes real e imaginária de z1 e z2, obtemos as equações
r1costheta1 = r2costheta2 e r1sintheta1 = r2sintheta2.

Passo 3

Para encontrar a relação entre r1 e r2, somamos o quadrado das duas equações. Assim, temos:
r1^2(cos^2theta1 + sin^2theta1) = r2^2(cos^2theta2 + sin^2theta2)
Como cos^2theta + sin^2theta = 1, isso dá r1^2 = r2^2. Como pacotes r1,r2 são não negativos, concluímos r1 = r2.

Passo 4

Com r1 = r2, dividimos uma das equações iniciais por r1 e obtemos
costheta1 = costheta2 e sintheta1 = sintheta2.
Essas igualdades só ocorrem se
theta2 = theta1 + 2kpi, k in Z

Resposta

r1 = r2 e theta2 = theta1 + 2kpi,;kinZ.

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