Foco em Conceitos
Considere . Descreva geometricamente o efeito de multiplicar por um número complexo da forma , quando e quando .

Passo 1

Temos o enunciado: um número complexo z = r(cos theta + isin theta) e queremos entender geometricamente o que acontece ao multiplicá-lo por z1 = cos alpha + isin alpha. O conteúdo é forma trigonométrica de números complexos e interpretação geométrica de produto.

Passo 2

Para multiplicar em forma trigonométrica, usamos a identidade do produto de dois complexos em forma polar. Isso dá:
z cdot z1 = r(cos theta + isin theta)cdot(cos alpha + isin alpha) = rl(cos(theta+alpha) + isin(theta+alpha)r)

Passo 3

O módulo do produto é r times 1 = r. Ou seja, a distância do ponto ao origem não muda: a multiplicação não altera o módulo.

Passo 4

O argumento do produto passa de theta para theta+alpha. Geometricamente, somar alpha ao argumento significa rotacionar o ponto: se alpha>0 a rotação é no sentido anti-horário, se alpha<0 a rotação é no sentido horário (de ângulo |alpha|).

Resposta

Multiplicar z por z1 faz uma rotação do ponto que representa z em torno da origem: de ângulo alpha no sentido anti-horário se alpha>0 (ou no sentido horário de |alpha| se alpha<0), sem alterar o módulo.

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