Questão extra
Provar que a equação tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação cosl(x^2+x-pir) = -tfrace^x3 tem pelo menos uma solução real. Vamos usar o teorema do valor intermediário, que exige continuidade da função envolvida e sinais opostos em dois pontos.

Passo 2

Definimos a função auxiliar em que buscamos a raiz:
f(x)=cosl(x^2+x-pir)+e^x3
Note que f(x) é soma e composição de funções contínuas (cosseno, polinômio e exponencial), portanto é contínua em R.

Passo 3

Agora avaliamos f em dois pontos para encontrar sinais opostos. Para x=0:
f(0)=cos(-pi)+e^03=-1+13=-tfrac23<0

Passo 4

Para x=1: como 1^2+1-pi=2-pi, temos cos(2-pi)=cos(pi-2)=-cos2approx0,416 e
f(1)=cos(2-pi)+e^13approx0,416+2,7183>0

Passo 5

Vimos que f(0)<0 e f(1)>0. Pelo teorema do valor intermediário, existe cin(0,1) tal que f(c)=0, ou seja
cosl(c^2+c-pir)=-e^c3

Resposta

Pelo teorema do valor intermediário, existe ao menos um cin(0,1) que satisfaz a equação dada, logo ela tem pelo menos uma solução real.

Exercícios relacionados