Questão extra
Provar que a equação
tem pelo menos uma solução real.
Provar que a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução real. Vamos usar o teorema do valor intermediário, que exige continuidade da função envolvida e sinais opostos em dois pontos.
Passo 2
Definimos a função auxiliar em que buscamos a raiz:
Note que
é soma e composição de funções contínuas (cosseno, polinômio e exponencial), portanto é contínua em
.
Passo 3
Agora avaliamos
em dois pontos para encontrar sinais opostos. Para
:
Passo 4
Para
: como
, temos
e
Passo 5
Vimos que
e
. Pelo teorema do valor intermediário, existe
tal que
, ou seja
Resposta
Pelo teorema do valor intermediário, existe ao menos um
que satisfaz a equação dada, logo ela tem pelo menos uma solução real.