Foco em Conceitos
Considere
. Se
for um inteiro, calcule
e
.
Considere
Passo 1
O enunciado pede para calcular as expressões envolvendo potências de um número complexo na forma trigonométrica. O conteúdo é a fórmula de De Moivre e propriedades de conjugação de números complexos. Vamos precisar escrever z e ,\bar{z} em forma exponencial/trigonométrica e aplicar De Moivre.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
e o conjugado é
Passo 3
Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar ao inteiro n:
Passo 4
Agora somamos as duas potências:
Passo 5
Por fim, subtraímos as potências:
Resposta
zn+\bar{z}n=2\cos(n\theta), zn-\bar{z}n=2i\sin(n\theta)