Foco em Conceitos
Considere . Se for um inteiro, calcule e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular as expressões envolvendo potências de um número complexo na forma trigonométrica. O conteúdo é a fórmula de De Moivre e propriedades de conjugação de números complexos. Vamos precisar escrever z e ,\bar{z} em forma exponencial/trigonométrica e aplicar De Moivre.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
z=costheta+isintheta=e^itheta,
e o conjugado é
barz=costheta-isintheta=e^-itheta

Passo 3

Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar ao inteiro n:
z^n=(e^itheta)^n=e^i ntheta=cos(ntheta)+isin(ntheta),
barz^n=(e^-itheta)^n=e^-i ntheta=cos(ntheta)-isin(ntheta)

Passo 4

Agora somamos as duas potências:
z^n+barz^n=l(cos(ntheta)+isin(ntheta)r)+l(cos(ntheta)-isin(ntheta)r)=2cos(ntheta)

Passo 5

Por fim, subtraímos as potências:
z^n-barz^n=l(cos(ntheta)+isin(ntheta)r)-l(cos(ntheta)-isin(ntheta)r)=2isin(ntheta)

Resposta

zn+\bar{z}n=2\cos(n\theta), zn-\bar{z}n=2i\sin(n\theta)

Exercícios relacionados