Para os números complexos dados no Problema 37, comprove que:
(a)

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade do argumento de produtos de números complexos: queremos mostrar que para dois complexos z1 e z2, vale arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2). Para isso, usaremos a forma trigonométrica (polar) dos complexos e as definições de módulo e argumento.

Passo 2

Vamos escrever cada número complexo em sua forma trigonométrica: seja z1=r1(costheta1+isintheta1) e z2=r2(costheta2+isintheta2), onde rk=|zk| e thetak=arg(zk), para k=1,2.

Passo 3

Agora calculamos o produto z1z2 usando a multiplicação na forma trigonométrica. Temos:
z1z2 = r1r2l(costheta1+isintheta1r)l(costheta2+isintheta2r)
Aplicando a fórmula de produto de soma de ângulos em trigonometria,
costheta1costheta2 - sintheta1sintheta2 = cos(theta1+theta2),
sintheta1costheta2 + costheta1sintheta2 = sin(theta1+theta2),
obtemos:
z1z2 = r1r2l(cos(theta1+theta2) + isin(theta1+theta2)r)

Passo 4

Dessa forma, o módulo de z1z2 é r1r2 e o argumento é exatamente theta1+theta2. Ou seja,
arg(z1z2) = theta1 + theta2 = arg(z1) + arg(z2)

Resposta

arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)

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