Para os números complexos dados no Problema 37, comprove que:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade do argumento de produtos de números complexos: queremos mostrar que para dois complexos
e
, vale
. Para isso, usaremos a forma trigonométrica (polar) dos complexos e as definições de módulo e argumento.
Passo 2
Vamos escrever cada número complexo em sua forma trigonométrica: seja
e
, onde
e
, para
.
Passo 3
Agora calculamos o produto
usando a multiplicação na forma trigonométrica. Temos:
Aplicando a fórmula de produto de soma de ângulos em trigonometria,
obtemos:
Passo 4
Dessa forma, o módulo de
é
e o argumento é exatamente
. Ou seja,