Use o método de série de potências para encontrar uma solução particular da equação seguinte :
x^2 y^prime prime+x(x+1) y^prime-y=0

Passo 1

Neste exercício vamos usar o método de Frobenius para resolver a equação diferencial x^2y''+x(x+1)y'-y=0 perto de x=0. Como esse ponto é singular regular, assumimos uma solução da forma y=sumn=0^infty an x^n+r. Vamos precisar achar o polinômio indicial e a relação de recorrência dos coeficientes.

Passo 2

Derivando y teremos y'=sumn=0^infty an(n+r)x^n+r-1 e y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2. Substituindo em x^2y''+x(x+1)y'-y=0, reorganizando potências de x e igualando o coeficiente de x^n+r a zero, obtemos o polinômio indicial
r(r-1)+r-1=0Longrightarrow r^2-1=0Rightarrow r=1 ou r=-1,
além da relação de recorrência para n>=1:
anl((n+r)^2-1r)+an-1(n+r-1)=0Longrightarrow an=-n+r-1(n+r)^2-1,an-1

Passo 3

Vamos escolher a raiz r=1 para obter uma solução particular. Nesse caso
an=-nn(n+2),an-1=-1n+2,an-1,

Passo 4

logo, tomando a0 arbitrário, temos por indução
an=2(-1)^n(n+2)!,a0

Passo 5

Assim a série para r=1 fica
y(x)=a0,xsumn=0^infty2(-1)^n(n+2)!x^n

Passo 6

Se ajustarmos a0=1/2 para simplificar, obtemos
y(x)=sumn=0^infty(-1)^n(n+2)!x^n+1=x-x^23+x^312-x^460+cdots

Resposta

Uma solução particular é
y(x)=sumn=0^infty2(-1)^n(n+2)!x^n+1=x-tfracx^23+tfracx^312-tfracx^460+cdots

Exercícios relacionados