Foco em Conceitos
Suponha que esteja no primeiro quadrante. Para cada , determine em que quadrante está posicionado.
(a)

Passo 1

O enunciado diz que temos um número complexo genérico z1 no primeiro quadrante (ou seja, arg(z1)in(0,tfracpi2)) e o número z2=tfrac12+tfracraiz32i. A tarefa é descobrir em que quadrante o produto z1z2 vai parar.

Passo 2

Para multiplicar dois números complexos, é muito útil falar em forma polar. Se escrevermos
z1=r1e^itheta1,
z2=r2e^itheta2,
então
z1z2=(r1r2)e^i(theta1+theta2)
Ou seja, o módulo é produto dos módulos e o argumento é a soma dos argumentos.

Passo 3

Vamos achar o argumento de z2=tfrac12+tfracraiz32i. Ele corresponde ao ângulo cujo cosseno vale tfrac12 e seno vale tfracraiz32, isto é
arg(z2)=pi3

Passo 4

Logo,
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)=theta1+pi3,
sendo theta1=arg(z1)in(0,tfracpi2). Assim
arg(z1z2)inl(tfracpi3,tfracpi2+tfracpi3r)=l(tfracpi3,tfrac5pi6r)

Passo 5

O intervalo (tfracpi3,tfrac5pi6) cobre ângulos de 60° até 150°. Nessa faixa, temos duas situações:
  • Se arg(z1z2) (ou seja, theta1+tfracpi3), então o produto está no primeiro quadrante. Isso dá theta1.
  • Se arg(z1z2)>tfracpi2 (ou seja, theta1+tfracpi3>tfracpi2), então o produto está no segundo quadrante. Isso dá theta1>tfracpi6.

Resposta

O produto z1z2 fica no primeiro quadrante se arg(z1) e no segundo quadrante se arg(z1)>tfracpi6.

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