Use o método de série de potências para encontrar uma solução particular da equação seguinte :
4 x y^prime prime-2 y^prime+9 x^2 y=0
Resposta: .

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de série de potências em torno de x=0 para resolver a EDO
4x,y'' - 2y' + 9x^2,y = 0
Este tipo de problema envolve assumir uma solução da forma de uma soma de potências de x e obter uma relação de recorrência para os coeficientes da série.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
logo suas derivadas são
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituímos essas séries na EDO:
4xsumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 -2sumn=1^inftyn anx^n-1 +9x^2sumn=0^inftyanx^n=0
Reindexando cada soma para colar em potências x^k e coletando termo a termo, obtemos
,sumk=0^inftyl[2(k+1)(2k-1)ak+1+9ak-2r]x^k=0

Passo 4

Da condição de anulação dos coeficientes de cada x^k segue a relação de recorrência
2(k+1)(2k-1)ak+1+9ak-2=0
ou seja
ak+1=-92(k+1)(2k-1),ak-2
Para k=0 e k=1 vemos que a_1=0 e a_2=0. A partir de k=2 surge o primeiro coeficiente não nulo a_3 em função de a_0.

Passo 5

Calculando alguns termos usando a_0 livre, vemos que só aparecem coeficientes para índices múltiplos de 3 e obtemos
a3k=(-1)^ka0(2k)!,
os outros a_n=0. Assim a série fica
y(x)=a0sumk=0^infty(-1)^kx^3k(2k)!

Passo 6

Reconhecemos essa soma como a expansão de cos(x^3/2). Tomando a0=1 temos a solução particular desejada.

Resposta

y(x)=\cos\bigl(x^{3/2}\bigr)

Exercícios relacionados