Use o método de série de potências para encontrar uma solução particular da equação seguinte :
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de série de potências em torno de x=0 para resolver a EDO
Este tipo de problema envolve assumir uma solução da forma de uma soma de potências de x e obter uma relação de recorrência para os coeficientes da série.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências:
logo suas derivadas são
Passo 3
Substituímos essas séries na EDO:
Reindexando cada soma para colar em potências x^k e coletando termo a termo, obtemos
Passo 4
Da condição de anulação dos coeficientes de cada x^k segue a relação de recorrência
ou seja
Para k=0 e k=1 vemos que a_1=0 e a_2=0. A partir de k=2 surge o primeiro coeficiente não nulo a_3 em função de a_0.
Passo 5
Calculando alguns termos usando a_0 livre, vemos que só aparecem coeficientes para índices múltiplos de 3 e obtemos
os outros a_n=0. Assim a série fica
Passo 6
Reconhecemos essa soma como a expansão de
. Tomando
temos a solução particular desejada.
Resposta
y(x)=\cos\bigl(x^{3/2}\bigr)