Foco em Conceitos
Suponha que esteja no primeiro quadrante. Para cada , determine em que quadrante está posicionado.
(b)

Passo 1

O enunciado diz que temos um número complexo z1 no primeiro quadrante (ou seja, 0) e queremos descobrir em que quadrante fica o produto z1z2 quando z2=-tfracraiz32+tfrac12,i. O conteúdo é multiplicação de complexos via soma de argumentos, e vamos precisar do argumento de z2 e da propriedade arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2).

Passo 2

Para achar arg(z2), note que Re(z2)=-tfracraiz32<0 e Im(z2)=tfrac12>0. Isso coloca z2 no segundo quadrante, e o ângulo notável com essas razões de seno e cosseno é arg(z2)=5pi/6 (ou 150°).

Passo 3

Pela regra de soma de argumentos,
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2),
e como arg(z1)in(0,pi/2) e arg(z2)=5pi/6, temos
arg(z1z2)inl(5pi/6,;5pi/6+pi/2r);=;(5pi/6,;4pi/3),,
os quais em graus é o intervalo (150°,240°).

Passo 4

Quadrantes em termos de ângulo são:
• Segundo quadrante: ângulos entre pi/2 e pi.
• Terceiro quadrante: ângulos entre pi e 3pi/2.
Como nosso intervalo (5pi/6,4pi/3) começa em 150° (no segundo) e vai até 240° (no terceiro), o produto cai no segundo quadrante sempre que arg(z1z2), isto é, quando arg(z1), e cai no terceiro quadrante quando arg(z1)>pi/6.

Resposta

O produto z1z2 ficará no segundo quadrante se 0 e no terceiro quadrante se pi/6.

Exercícios relacionados