Os focos da elipse interseção de \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{8}=1 com o plano y=4 são:
Escolha uma opção:
a. F_{1}=(0,4,-\sqrt{10}) e F_{2}=(0,4, \sqrt{10})
b. F_{1}=(0,5,-4) e F_{2}=(0,5,4)
c. F_{1}=(0,4,-\sqrt{12}) e F_{2}=(0,4, \sqrt{12})
d. F_{1}=(-\sqrt{12}, 4,0) e F_{2}=(\sqrt{12}, 4,0)
e. F_{1}=(-\sqrt{10}, 4,0) e F_{2}=(\sqrt{10}, 4,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{8}=1
e pede os focos da elipse obtida ao intersectar essa superfície com o plano y=4. O conteúdo envolvido é a obtenção de uma seção cônica (neste caso, uma elipse) e o cálculo de seus focos.

Passo 2

Substituímos y=4 na equação da superfície:
\frac{x^{2}}{3}-\frac{(4)^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{8}=1
Como \frac{4^{2}}{16}=1, isso dá
\frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{8}-1=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{8}=2.

Passo 3

Para escrever na forma padrão da elipse dividimos ambos os lados por 2:
\frac{x^{2}}{6}+\frac{z^{2}}{16}=1.
Aqui temos uma elipse centrada em (0,4,0) no plano y=4, com semi-eixo ao longo de x de comprimento \sqrt{6} e ao longo de z de comprimento 4.

Passo 4

Identificamos \displaystyle a^{2}=6 e \displaystyle b^{2}=16. Como b>a, o eixo maior está sobre o eixo z e
c=\sqrt{b^{2}-a^{2}}=\sqrt{16-6}=\sqrt{10}.

Passo 5

Os focos ficam no centro (0,4,0) deslocados em \pm c ao longo de z, ou seja:
F_{1}=(0,4,-\sqrt{10}), \quad F_{2}=(0,4,\sqrt{10}).

Resposta

a. F_{1}=(0,4,-\sqrt{10}) e F_{2}=(0,4,\sqrt{10})

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