Questão 5 Seja V=\mathbb{R}^{2}. Mostre que V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre V e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) e \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\alpha x_{1}, 0\right).

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 a soma usual
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e a multiplicação escalar
\alpha\,(x,y)=(\alpha x,\;0).
Pede-se mostrar que com essas operações V não é espaço vetorial e indicar quais dos 8 axiomas falham.

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas relativos à soma (grupo abeliano):
  1. Fechamento: a soma de dois vetores em \mathbb{R}^2 está em \mathbb{R}^2.
  2. Associatividade: vale a associatividade usual de \mathbb{R}^2.
  3. Comutatividade: idem.
  4. Elemento neutro: (0,0) satisfaz (x,y)+(0,0)=(x,y).
  5. Inverso aditivo: para cada (x,y), o inverso é (-x,-y).
    Logo, os 5 axiomas da estrutura de grupo abeliano estão todos satisfeitos.

Passo 3

Agora os axiomas envolvendo multiplicação escalar, numerados usualmente de VS5 a VS8:
VS5 (identidade escalar): deve valer
1\,(x,y)=(x,y).
Aqui
1\,(x,y)=(1\cdot x,\;0)=(x,0),
que em geral difere de (x,y) quando y\neq0. Portanto VS5 falha.
VS6 (compatibilidade com produto de escalares):
(\alpha\beta)\,(x,y)=(\alpha\beta\,x,0), \quad \alpha\bigl(\beta\,(x,y)\bigr)=\alpha(\beta x,0)=(\alpha\beta\,x,0),
logo VS6 vale.
VS7 (distributividade em relação à soma de escalares):
(\alpha+\beta)(x,y)=((\alpha+\beta)x,0),
\alpha(x,y)+\beta(x,y)=(\alpha x,0)+(\beta x,0)=((\alpha+\beta)x,0),
logo VS7 vale.
VS8 (distributividade em relação à soma de vetores):
\alpha\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =\alpha(x_1+x_2,y_1+y_2)=(\alpha(x_1+x_2),0),
\alpha(x_1,y_1)+\alpha(x_2,y_2)=(\alpha x_1,0)+(\alpha x_2,0)=(\alpha(x_1+x_2),0),
logo VS8 vale.

Resposta

V não é espaço vetorial porque o axioma VS5 (identidade escalar 1\cdot v=v) não se verifica.

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