Questão 5 Seja
. Mostre que
não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre
e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
e
.
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação escalar
Pede-se mostrar que com essas operações
não é espaço vetorial e indicar quais dos 8 axiomas falham.
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas relativos à soma (grupo abeliano):
- Fechamento: a soma de dois vetores em
está em . - Associatividade: vale a associatividade usual de
. - Comutatividade: idem.
- Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso aditivo: para cada
, o inverso é .
Logo, os 5 axiomas da estrutura de grupo abeliano estão todos satisfeitos.
Passo 3
Agora os axiomas envolvendo multiplicação escalar, numerados usualmente de VS5 a VS8:
VS5 (identidade escalar): deve valer
VS5 (identidade escalar): deve valer
Aqui
que em geral difere de
quando
. Portanto VS5 falha.
VS6 (compatibilidade com produto de escalares):
VS6 (compatibilidade com produto de escalares):
logo VS6 vale.
VS7 (distributividade em relação à soma de escalares):
VS7 (distributividade em relação à soma de escalares):
logo VS7 vale.
VS8 (distributividade em relação à soma de vetores):
VS8 (distributividade em relação à soma de vetores):
logo VS8 vale.