Questão 4 Seja
é uma função
. Para quaisquer funções
e qualquer escalar
, sejam
e
funções em
, definidas como segue:
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
para todo
e
.
Queremos mostrar que é um espaço vetorial sobre
, isto é, verificar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, neutro, inverso, e as propriedades de distributividade e compatibilidade de escalares).
Queremos mostrar que
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
- Se
, então é função de em , logo . - Se
e , então é função de em , logo .
Passo 3
Propriedades da soma de funções:
- Comutatividade: para todo
,
logo
.
2. Associatividade: para todo ,
2. Associatividade: para todo
logo
.
Passo 4
Neutro e inverso aditivo:
- Existe
definido por para todo . Então
ou seja,
.
2. Para cada existe
definido por
. Então
2. Para cada
logo
.
Passo 5
Distributividade:
-
: para todo ,
-
: para todo ,
Passo 6
Compatibilidade da multiplicação escalar e identidade:
-
: para todo ,
-
: para todo ,
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
e é, de fato, um espaço vetorial.