Questão 4 Seja V=\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} ; f é uma função \}. Para quaisquer funções f, g \in V e qualquer escalar \alpha \in \mathbb{R}, sejam f+g e \alpha f funções em V, definidas como segue:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) e(\alpha f)(x)=\alpha f(x) ; \forall x \in \mathbb{R}
Mostre que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}
com as operações
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(\alpha f)(x)=\alpha\,f(x),
para todo x\in\mathbb{R} e \alpha\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, isto é, verificar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, neutro, inverso, e as propriedades de distributividade e compatibilidade de escalares).

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
  • Se f,g\in V, então f+g é função de \mathbb{R} em \mathbb{R}, logo f+g\in V.
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e f\in V, então \alpha f é função de \mathbb{R} em \mathbb{R}, logo \alpha f\in V.

Passo 3

Propriedades da soma de funções:
  1. Comutatividade: para todo x,
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x),
logo f+g=g+f.
2. Associatividade: para todo x,
((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=\bigl(f(x)+g(x)\bigr)+h(x)
= f(x)+\bigl(g(x)+h(x)\bigr) = f(x)+(g+h)(x) = (f+(g+h))(x),
logo (f+g)+h = f+(g+h).

Passo 4

Neutro e inverso aditivo:
  1. Existe 0\in V definido por 0(x)=0 para todo x. Então
(f+0)(x)=f(x)+0=f(x)\quad\text{e}\quad(0+f)(x)=0+f(x)=f(x),
ou seja, f+0=f.
2. Para cada f\in V existe -f\in V definido por (-f)(x)=-f(x). Então
(f+(-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0=(0)(x),
logo f+(-f)=0.

Passo 5

Distributividade:
  1. \alpha(f+g)=(\alpha f+\alpha g): para todo x,
\bigl(\alpha(f+g)\bigr)(x)=\alpha\,(f+g)(x)=\alpha\bigl(f(x)+g(x)\bigr)
=\alpha f(x)+\alpha g(x) =(\alpha f+\alpha g)(x).
  1. (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f: para todo x,
\bigl((\alpha+\beta)f\bigr)(x)=(\alpha+\beta)\,f(x)=\alpha f(x)+\beta f(x)
=(\alpha f+\beta f)(x).

Passo 6

Compatibilidade da multiplicação escalar e identidade:
  1. (\alpha\beta)f=\alpha(\beta f): para todo x,
\bigl((\alpha\beta)f\bigr)(x)=(\alpha\beta)\,f(x)=\alpha\bigl(\beta f(x)\bigr)
=\alpha\bigl(\beta f\bigr)(x) =\bigl(\alpha(\beta f))\bigr)(x).
  1. 1\cdot f=f: para todo x,
(1\cdot f)(x)=1\cdot f(x)=f(x).

Resposta

Portanto, V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} e é, de fato, um espaço vetorial.

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