Um foguete de massa MF=300 kg que se afasta da Terra (em linha reta) está a uma velocidade de 5 km / s quando o motor é desligado numa altura h1=300km acima da superfície da Terra.
(A) Desprezando a resistência do ar, determine a energia cinética K2 do foguete quando ele está h2= 1500km acima da superfície da terra.
(B) Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade v2 do foguete quando ele está h2= 1500km acima da superfície da terra.
(C) Qual é a altura máxima h máx á acima da superfície da Terra atingida por esse foguete?
Considere:
R Terra =6371 km
M Terra =5,98 times 10^24 m
G=6,67 times 10^-11 m^3 / s^2 kg
a. (A) K2=1,09 times 10^9 J
(B) v2=2,7 km / s
(C)
h máx =1610 kmá.
b. (A) K2=1,09 times 10^9 J
(B) v2=2,7 km / s
(C) h máx =2610 kmá.
c. (A) K2=1,09 times 10^9 J
(B) v2=3,7 km / s
(C) h máx =1610 kmá.
d. (A) K2=1,09 times 10^10 J
(B) v2=2,7 km / s
h máx =1610 kmá.
e. (A) K2=2,09 times 10^9 J
(B) v2=3,7 km / s
(C) h máx =2610 kmá.

Passo 1

O enunciado dá um foguete de massa m=300rm kg que, ao desligar o motor, está em altura
h1=300rm km
acima da superfície da Terra, com velocidade
v1=5rm km/s
Precisamos desprezar resistência do ar e usar conservação de energia mecânica na forma
E = K + Ug,
onde a energia cinética é
K=tfrac12,m,v^2
e a energia potencial gravitacional, em função da distância r ao centro da Terra, é
Ug(r)=-G,Mrm Terra,mr
Queremos determinar, na altura
h2=1500rm km,
a energia cinética K2, a velocidade v2 e finalmente a altura máxima hmax.

Passo 2

Calcular K2 por conservação de energia entre r1=Rrm T+h1 e r2=Rrm T+h2.
r1=(6371+300)rm km=6,671times10^6 m, r2=(6371+1500)rm km=7,871times10^6 m
Energia inicial
K1=tfrac12,m,v1^2 =tfrac12,(300),(5000)^2 =3,75times10^9 J,
U1=-G,Mrm T,mr1, U2=-G,Mrm T,mr2
Como E=K1+U1=K2+U2, temos
K2 = K1 + (U1 - U2)
Substituindo G=6,67times10^-11, Mrm T=5,98times10^24rm kg e m=300rm kg resulta
K2approx 1,09times10^9 J

Passo 3

A velocidade v2 em h2 vem de
K2=tfrac12,m,v2^2 Longrightarrow v2=raiz2,K2m approx2,7 rm km/s

Passo 4

Para achar a altura máxima hmax, note que no ponto mais alto a energia cinética é zero. Logo
E = K1 + U1 = U(rmax) = -G,Mrm T,mrmax
Isolando rmax:
rmax = -G,Mrm T,mE e hmax=rmax-Rrm T
Fazendo as contas, chega-se a
hmaxapprox1610rm km

Resposta

a. (A) K2=1,09times10^9 J
(B) v2=2,7 rm km/s
(C) hmax=1610 rm km

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