Questão: 4. (25 pontos) Uma partícula de massa 500 g e velocidade igual à
na direção x experimenta uma força dada por
, também na direção
. Qual a velocidade da particula quando a forca
atinge seu valor máximo pela primeira vez?
Passo 1
O enunciado diz que a partícula de massa
parte com velocidade inicial
ao longo de
e sofre uma força variável
. Queremos achar a velocidade quando
atinge seu primeiro valor máximo. Vamos usar o teorema trabalho-energia cinética, que relaciona o trabalho da força à variação da energia cinética.
Passo 2
Para encontrar onde
atinge seu primeiro máximo, impondo
temos
[2x = \tfrac{\pi}{2} \implies x = \tfrac{\pi}{4}]
[2x = \tfrac{\pi}{2} \implies x = \tfrac{\pi}{4}]
Passo 3
Então o trabalho realizado pela força ao deslocar de
(onde
) até
é
[W = \int_{0}^{\pi/4}5\sin(2x),dx]
[W = \int_{0}^{\pi/4}5\sin(2x),dx]
Passo 4
Calculando a integral:
[W = \Bigl[-\tfrac{5}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = -\tfrac{5}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \tfrac{5}{2}\cos(0) = \tfrac{5}{2}]
[W = \Bigl[-\tfrac{5}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = -\tfrac{5}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \tfrac{5}{2}\cos(0) = \tfrac{5}{2}]
Passo 5
Pelo teorema energia cinética vale
[\tfrac12 m\bigl(v^2 - v_0^2\bigr) = W]
[\tfrac12 m\bigl(v^2 - v_0^2\bigr) = W]
Passo 6
Substituindo
,
e
:
[v^2 = v_0^2 + \tfrac{2W}{m} = 9 + \tfrac{2\cdot(5/2)}{0.5} = 9 + 10 = 19]
[v^2 = v_0^2 + \tfrac{2W}{m} = 9 + \tfrac{2\cdot(5/2)}{0.5} = 9 + 10 = 19]
Passo 7
Logo a velocidade buscada é
.