Questão: 4. (25 pontos) Uma partícula de massa 500 g e velocidade igual à 3 m / s na direção x experimenta uma força dada por F=5 sin (2 x), também na direção x. Qual a velocidade da particula quando a forca F atinge seu valor máximo pela primeira vez?

Passo 1

O enunciado diz que a partícula de massa m=0,5,kg parte com velocidade inicial v0=3,m/s ao longo de x e sofre uma força variável F(x)=5sin(2x). Queremos achar a velocidade quando F atinge seu primeiro valor máximo. Vamos usar o teorema trabalho-energia cinética, que relaciona o trabalho da força à variação da energia cinética.

Passo 2

Para encontrar onde F(x)=5sin(2x) atinge seu primeiro máximo, impondo sin(2x)=1 temos
[2x = \tfrac{\pi}{2} \implies x = \tfrac{\pi}{4}]

Passo 3

Então o trabalho realizado pela força ao deslocar de x=0 (onde F=0) até x=pi/4 é
[W = \int_{0}^{\pi/4}5\sin(2x),dx]

Passo 4

Calculando a integral:
[W = \Bigl[-\tfrac{5}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = -\tfrac{5}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \tfrac{5}{2}\cos(0) = \tfrac{5}{2}]

Passo 5

Pelo teorema energia cinética vale
[\tfrac12 m\bigl(v^2 - v_0^2\bigr) = W]

Passo 6

Substituindo m=0,5,kg, v0=3,m/s e W=5/2,J:
[v^2 = v_0^2 + \tfrac{2W}{m} = 9 + \tfrac{2\cdot(5/2)}{0.5} = 9 + 10 = 19]

Passo 7

Logo a velocidade buscada é v=raiz19,m/s.

Resposta

v = raiz19,m/s approx 4,36,m/s

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